1、专题7.3 三角形内角和定理的运用【八大题型】【北师大版】【题型1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】1【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高线综合】2【题型3 三角形内角和定理与平行线的性质综合】3【题型4 三角形内角和定理与折叠性质综合】4【题型5 三角形内角和定理与新定义问题综合】5【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】6【题型7 判断直角三角形】8【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】9【知识点1 三角形的内角及内角和定理】三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0且小于180三角形内角和定理：三角形内角和是180【题
2、型1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】【例1】（2021秋涡阳县期末）在ABC中，已知BA+10，CB+25，求A的度数【变式1-1】（2022春武侯区校级期中）如图，点E、D分别在AB、AC上若B30，C50，则1+2 【变式1-2】（2022哈尔滨）在ABC中，AD为边BC上的高，ABC30，CAD20，则BAC是 度【变式1-3】（2022南京模拟）已知BD、CE是ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为45，则BAC等于 【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高线综合】【例2】（2022春西湖区校级月考）如图，在ABC中，BAC60，BCE40，AD平分BAC，CEAB于
3、点E，则ADB的度数为（）A100B90C80D50【变式2-1】（2021秋靖西市期末）ABC中，C50，B30，AE平分BAC，点F为AE上一点，FDBC于点D，则EFD的度数为（）A5B10C12D20【变式2-2】（2022春鼓楼区校级期末）如图，在ABC中，AD是高，AE是角平分线（1）若B32，C60，求DAE的度数；（2）若CB18，求DAE的度数【变式2-3】（2022春锡山区期中）已知：如图，ABC中，ADBC于点D，BE是ABC的平分线，若DAC30，BAC80（1）求EBC的度数；（2）求AOB的度数【题型3 三角形内角和定理与平行线的性质综合】【例3】（2022高唐县二
4、模）将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中BF90，A45，E60，点C在边DF上，AC，BC分别交DE于点G，H若BCEF，则AGD的度数为（）A30B45C60D75【变式3-1】（2022春兴宁区校级期末）如图，在ABG中，D为AG上一点，ABDC，点E是边AB上一点，连接ED，EBDEDB，DF平分EDG，若GDC72，则BDF的度数为（）A50B40C45D36【变式3-2】（2022春泌阳县期末）如图，在ABC中，AO平分BAC，BOAO，O为垂足，ODAC，若ABO40，试求BOD的大小（提示：延长AO交BC于点E）【变式3-3】（2022春铜梁区校级期中）如图，AD是
5、ABE的角平分线，过点B作BCAB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G（1）若21+EAB180，求证：EFBC；（2）若C72，AEB78，求CBE的度数【题型4 三角形内角和定理与折叠性质综合】【例4】（2022春锦江区校级期中）如图甲所示三角形纸片ABC中，BC，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙），则ABC的大小为 【变式4-2】（2021春丹阳市期中）如图，ABC中，ADBC于点D，BEAC于点E，AD与BE交于点O，将ABC沿MN折叠，使点C与点O重合，若A
6、OB135，则1+2 = 【变式4-3】（2022春铁西区期末）有一张三角形纸片ABC，已知B30，C50，点D在边AB上，请在边BC上找一点E，将纸片沿直线DE折叠，点B落在点F处，若EF与三角形纸片ABC的边AC平行，则BED的度数为 【变式4-4】（2022巴彦县二模）在ABC中，A110，点D在ABC内，将射线BA沿直线BD翻折，将射线CA沿直线CD翻折，两射线交于点E，若BEC150，则BDC的度数为 【题型5 三角形内角和定理与新定义问题综合】【例5】（2021秋山亭区期末）定义：当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中称为“倍角”，如果一个“倍
7、角三角形”的一个内角为99，那么倍角的度数是 【变式5-1】（2022春大丰区校级月考）当三角形中一个内角是另外一个内角的12时，我们称此三角形为“友好三角形”，为友好角如果一个“友好三角形”中有一个内角为36，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为 【变式5-2】（2022春安溪县期末）新定义：在ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称ABC为“n倍角三角形”例如，在ABC中，若A90，B60，则C30，因为A最大，C最小，且A3C，所以ABC为“3倍角三角形”（1）在DEF中，若E40，F60，则DEF为“ 倍角三角形”（2）如图，在ABC中，C36，B
8、AC、ABC的角平分线相交于点D，若ABD为“6倍角三角形”，请求出ABD的度数【变式5-3】（2021秋福田区校级期末）我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”如：三个内角分别为130、40、10的三角形是“完美三角形”【简单应用】如图1，MON72，在射线OM上找一点A，过点A作ABOM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）（1）ABO ，AOB （填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若ACB90，求证：AOC是“完美三角形”；【应用拓展】如图2，点D在ABC的边AB上，
9、连接DC，作ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使EFC+BDC180，DEFB，若BCD是“完美三角形”，求B的度数【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】【例6】（2021秋青田县期末）如图，直线l线段BC，点A是直线l上一动点在ABC中，AD是ABC的高线，AE是BAC的角平分线（1）如图1，若ABC65，BAC80，求DAE的度数；（2）当点A在直线l上运动时，探究BAD，DAE，BAE之间的数量关系，并画出对应图形进行说明【变式6-1】（2022春顺德区期中）如图，在ABC中，BO，CO是ABC的内角平分线且BO，CO相交于点O（1）若ACB80，ABC40，求BO
10、C的度数；（2）若A60，求BOC的度数；（3）请你直接写出A与BOC满足的数量关系式，不需要说明理由【变式6-2】（2022春海门市期末）已知：ABC，点D，E分别在边AC，AB上，连接BD，CE，BD与CE交于点O，BOCBAC54（1）如图1，当BD，CE都是ABC的角平分线时，求BOC的度数；（2）如图2，当BD，CE都是ABC的高时，求BOC的度数；（3）如图3，当ABD2ACE时，探究BEO与CDO的数量关系，并说明理由【变式6-3】（2022春辉县市期末）小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在ABC中，CB，AE平分BAC，ADBC于D猜想B、C、EAD的数量关系（1）小明阅读
11、题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入B、C的值求EAD值，得到下面几组对应值：B/度1030302020C/度7070606080EAD/度30a152030上表中a ，于是得到B、C、EAD的数量关系为 （2）小明继续探究，在线段AE上任取一点P，过点P作PDBC于点D，请尝试写出B、C、EPD之间的数量关系，并说明理由（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图2，过EA的延长线是一点F作FDBC交CB的延长线于D，当ABC80，C24时，F度数为 【知识点2 直角三角形的判定】直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形【题型7 判断直角三角形】【例7】（2021春
12、历下区期中）在下列条件：A+BC，A：B：C5：3：2，A90B，A2B3C中，能确定ABC是直角三角形的条件有（）A1个B2个C3个D4个【变式7-1】（2022秋旌阳区校级月考）在下列条件中（1）A+BC；（2）A：B：C1：2：3；（3）AB=12C；（4）A=12B=13C中，能确定ABC为直角三角形的条件有（）A1个B2个C3个D4个【变式7-2】（2021秋谢家集区期中）如图，在ABC中，B30，C62，AE平分BAC（1）求BAE；（2）若ADBC于点D，ADF74，证明：ADF是直角三角形【变式7-3】（2022春崇川区期末）定义：如果三角形的两个内角与满足+2100，那么我们
13、称这样的三角形为“奇妙三角形”（1）如图1，ABC中，ACB80，BD平分ABC求证：ABD为“奇妙三角形”（2）若ABC为“奇妙三角形”，且C80求证：ABC是直角三角形；（3）如图2，ABC中，BD平分ABC，若ABD为“奇妙三角形”，且A40，直接写出C的度数【知识点3 直角三角形的性质】直角三角形的性质：直角三角形两个内角互余【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】【例8】（2022秋宁晋县期中）如图，在ABC中，BAC90，ACAB，AD是斜边BC上的高，DEAC，DFAB，垂足分别为E、F，则图中与C（C除外）相等的角的个数是（）A3个B4个C5个D6个【变式8-1】（2022碑林区校级模拟）如图，已知RtABC和RtDEF，BACEDF90，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EFBC，则图中与E相等的角有（）个A5B4C3D2【变式8-2】（2022春邓州市期末）如图，在ABC中，BAC90，ADBC于点D，BE平分ABC，AD、BE相交于点F（1）若CAD36，求AEF的度数；（2）试说明：AEFAFE【变式8-3】（2022春米东区期末）如图1，BACACD90，ABCADC，CEAD，且BE平分ABC（1）求证：ACEABC；（2）求证：ECD+EBCBEC；（3）求证：CEFCFE
