1、2012届高考数学（文）二轮复习课件：第10讲 数列求和及数列应用1常用公式等差数列的前 n 项和，等比数列的前 n 项和，123nnn12，122232n2nn12n16，1323n3nn122.2常用裂项方法1nn11n 1n1；1nnk1k1n 1nk；1n21121n1 1n1；14n211212n112n1；n1nn12n2nn1nn12n 1n12n1 1n2n等3数列求和的基本方法公式法、分组法、裂项法、错位相减法、倒序相加法4数列的应用等差数列模型、等比数列模型、递推数列模型第10讲 主干知识整合 主干知识整合例 12011安徽卷 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使
2、得这 n2 个数构成递增的等比数列，将这 n2 个数的乘积记作 Tn，再令 anlgTn，n1.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bntanantanan1，求数列bn的前 n 项和 Sn.第10讲 要点热点探究 要点热点探究 探究点一 数列求和及其应用【分析】(1)只要根据等比数列的性质 amanapaqmnpq，m，n，p，qN*，即可把插入的 n 个数的乘积转化为 1 与 100 的乘积；(2)根据差角的正切公式进行裂项第10讲 要点热点探究【解答】(1)设 t1，t2，tn2 构成等比数列，其中 t11，tn2100，则 Tnt1t2tn1tn2，Tntn2tn1t2t1，并利用
3、titn3it1tn2102(1in2)，得T2n(t1tn2)(t2tn1)(tn1t2)(tn2t1)102(n2)anlgTnn2，n1.(2)由题意和(1)中计算结果，知bntan(n2)tan(n3)，n1，另一方面，利用 tan1tan(k1)k tank1tank1tank1tank，得 tan(k1)tanktank1tanktan11.所以 Snk1nbk k3n2tan(k1)tank k3n2tank1tanktan11 tann3tan3tan1n.第10讲 要点热点探究 第10讲 要点热点探究【点评】本题考查等比数列的性质、三角函数等知识本题两问中的方法都是值得注意的
4、，在第一问中采用的是倒序相乘法，这类似于等差数列求和中的倒序相加法；第二问采用的裂项法和两角差的正切公式结合在一起，这在近年来的高考试题中是不多见的，这与我们平时见到的裂项法有较大的不同，但基本思想是把不能使用公式直接求和的问题转化为可以逐项相消的问题，基本思想就是裂项设数列an的各项都为正数，其前 n 项和为 Sn，已知对任意 nN*，Sn 是 a2n和 an 的等差中项(1)证明：数列an为等差数列，并求数列an的通项公式；(2)证明：1S1 1S2 1Sn2；(3)设集合 Mm|m2k，kZ，且 1000km 的一切正整数 n，不等式 Sn1005a2n2 恒成立，求这样的正整数 m 共
5、有多少个？第10讲 要点热点探究【解答】(1)由已知，2Sna2nan，且 an0，当 n1 时，2a1a21a1，解得 a11.当 n2 时，有 2Sn1a2n1an1，于是 2Sn2Sn1a2na2n1anan1，即 2ana2na2n1anan1，于是 a2na2n1anan1，即(anan1)(anan1)anan1.因为 anan10，所以 anan11(n2)故数列an是首项为 1，公差为 1 的等差数列，且 ann.(2)因为 ann，则 Sn2nn121n 1n1，所以 1S1 1S2 1Sn2112 1213 1n 1n1 21 1n1 a2n2，得nn121005n22，即
6、n21005，所以 n2010.由题设，M2000,2002，2008,2010,2012，2998，因为 mM，所以 m2010,2012，2998 均满足条件，且这些数组成首项为 2010，公差为 2 的等差数列设这个等差数列共有 k 项，则 20102(k1)2998，解得 k495.故集合 M 中满足条件的正整数 m 共有495 个第10讲 要点热点探究 第10讲 要点热点探究 例 2 设数列an满足：a12a23a3nan2n(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设 bnn2an，求数列bn的前 n 项和 Sn.【分析】第(1)问直接利用递推式求通项公式；第(2)问是一类典型的
7、错位相减法来求和的问题第10讲 要点热点探究【解答】(1)a12a23a3nan2n，n2 时，a12a23a3(n1)an12n1.，得 nan2n1，an2n1n(n2)，在中令 n1 得 a12，an2n1，2n1n n2.第10讲 要点热点探究(2)bn2n1，n2n1n2.则当 n1 时，S12.当 n2 时，Sn222322n2n1，则 2Sn4222323(n1)2n1n2n.相减得Snn2n(222232n1)(n1)2n2(n2)又 S12，Sn(n1)2n2(nN*)第10讲 要点热点探究【点评】本题是一类比较典型的数列解答题，第(1)问求通项，第(2)问求和，求和时利用错
8、位相减法实现设an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn的前 n 项和可用错位相减法第10讲 要点热点探究 已知等差数列an和正项等比数列bn，a1b11，a3a710，b3a4.(1)求数列an、bn的通项公式；(2)若 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 Tn.第10讲 要点热点探究【解答】(1)依题意，an为等差数列，设其公差为 d；bn为正项等比数列，设其公比为 q，即可知 q0.a3a710，2a510，即 a55.又 a11，a5a14d4，解得 d1.故 ana1(n1)dn.由已知 b3a44，q2b3b14，即 q2.bnb1qn12n1.所以 ann，bn2n1.(
9、2)cnanbnn2n1，Tn120221322n2n1，2Tn121222323(n1)2n1n2n.以上两式相减，得Tn2021222n 1n2n112n12n2n(1n)2n1，Tn(n1)2n1.第10讲 要点热点探究 探究点二 数列应用题的解法例 3 2011湖南卷 某企业在第 1 年初购买一台价值为120 万元的设备 M，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2 年到第 6 年，每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开始，每年初 M 的价值为上年初的 75%.(1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式；(2)设 Ana1a2ann.若 An 大于 80 万元，
10、则 M 继续使用，否则须在第 n 年初对 M 更新证明：须在第 9 年初对 M 更新第10讲 要点热点探究【解答】(1)当 n6 时，数列an是首项为 120，公差为10 的等差数列an12010(n1)13010n；当 n6 时，数列an是以 a6 为首项，公比为34的等比数列，又 a670，所以 an7034n6.因此，第 n 年初，M 的价值 an 的表达式为an13010n，n6，7034n6，n7.第10讲 要点热点探究(2)设 Sn 表示数列an的前 n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当 1n6 时，Sn120n5n(n1)，An1205(n1)1255n；当 n7 时，由于
11、S6570，故SnS6(a7a8an)57070344134n6 78021034n6，An78021034n6n，因为an是递减数列，所以An是递减数列又A8780210342882476480，A97802103439767996An，即 500n5002n 100490n10n2，可化简得502ng(3)2，f(4)50160，知 annban1an1n10，nan1b1bn1an1.令 An nan，A11b，当 n2 时，An1b1bAn11b 1bn1 1bn1A11b 1bn1 1bn.当 b1 时，An1b1 1bn11b bn1bnb1，当 b1 时，Ann.annbnb1b
12、n1，b1，1，b1.第10讲 要点热点探究(2)证明：当 b1 时，欲证 2an2nbnb1bn1bn11，只需证 2nbn(bn11)bn1b1.(bn11)bn1b1 b2nb2n1bn1bn1bn21bnbn 1bnbn1 1bn1b1bbn(222)2nbn，2an2nbnb1bn10，n2)，且 a10，n2 时，an0.其中 Sn 是数列 an 的前 n 项和(1)求数列an的通项公式；(2)若对于 n2，nN*，不等式 1a2a3 1a3a41anan12 恒成立，求 t 的取值范围 第10讲 要点热点探究【解答】(1)依题意，SnSn1ta2nn2，Sn1Sn2ta2n1n3
13、.得 anan1t(a2na2n1)(n3)，由已知 anan10，故 anan11t(n3)，由 a10，S2S1ta22，得 a2ta22，a20(舍)或 a21t，即数列an从第二项开始是首项为1t，公差为1t的等差数列所以 ann1t(n2)又当 n1 时，a111t0，所以 ann1t(nN*)(2)设 Tn 1a2a3 1a3a41anan1 t212 t223 t234t2n1nt211n.要使 Tn2 对于 n2，nN*恒成立，只要 Tnt211n t22成立，所以 060n2 成立的正整数 n 的最小值第10讲 教师备用例题【解答】(1)设等比数列an的首项为 a1，公比为
14、q，依题意，有2a1a33a2，a2a42a32 a12q23a1q，a1qq32a1q24.由及 a10，得 q23q20q1 或 q2.当 q1 时，式不成立；当 q2 时，符合题意，把 q2 代入得 a12，所以 an22n12n.第10讲 教师备用例题(2)bnanlog21an2nlog212nn2n，Sn12222323n2n，2Sn122223324n2n1.，得 Sn222232nn2n1212n12 n2n12n1n2n12.2n1Sn60n2，即 n2n160n，2n160.又当 n4 时，2n1253260，故使 2n1Sn60n2 成立的正整数 n 的最小值为 5.第1
15、0讲 教师备用例题 第10讲 教师备用例题 例 3 已知等差数列an的首项 a11，公差 d0，且 a2，a5，a14 分别是等比数列bn的b2，b3，b4.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设数列cn对任意自然数 n 均有：c1b1c2b2cnbnan1 成立，求 c1c2c3c2010的值第10讲 教师备用例题【解答】(1)a21d，a514d，a14113d，且 a2、a5、a14 成等比数列，(14d)2(1d)(113d)，解得 d2 或 d0(舍去)，an1(n1)22n1.又b2a23，b3a59，q3，b11，bn3n1.(2)c1b1c2b2cnbnan1，c1b1a2 即 c1b1a23.又c1b1c2b2cn1bn1an(n2)，得cnbnan1an2，cn2bn23n1(n2)，cn3n1，23n1n2.c1c2c3c20103231232232010132(31323332009)3231320091332010.