1、数学试题一单项选择题1. 已知集合A=x|x=2k，kZ)，B=xN|x4)，那么集合AB=（ ）A. (1，4)B. 2C. 1，2D. 1，2，4【答案】C【解析】分析】确定出集合中的元素，然后根据交集定义求解【详解】由题意，故选：C【点睛】本题考查集合的交集运算，确定集合中的元素是解题关键2. 若（是虚数单位），则复数的模为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法、除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的求模公式计算出复数的模.【详解】因为，所以，所以，故选D.【点睛】本题考查复数的乘法、除法法则以及复数模的计算，对于复数相关问题，常利用复数的四则运算法
2、则将复数表示为一般形式进行求解，考查计算能力，属于基础题.3. 已知，则（ ）A. 0B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题首先可根据两角和的正弦公式以及两角差的余弦公式对进行化简，得出，然后根据即可得出结果.【详解】因为，所以，即，则，故选：A.【点睛】本题考查两角和的正弦公式、两角差的余弦公式以及二倍角公式，考查计算能力，考查转化与化归思想，是简单题.4. 已知平面向量，满足，且，则（ ）A. B. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】由已知数量积求得，再利用计算后可得结论【详解】，故选：C.【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，掌握模与数量积的关系是解题关键5. 已知是定
3、义域为的奇函数，若为偶函数，则（）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性，即可求得函数的周期，利用函数的周期性，即可求得函数值.【详解】为偶函数，且可由向左平移个单位得到，关于轴对称，即，又为上的奇函数，且，是一个周期为的周期函数，.故选：.【点睛】本题考查利用函数的周期性求函数值，属基础题.6. 已知点，分别是双曲线C： (，)的左右焦点，M是C右支上的一点，与y轴交于点P， 的内切圆在边上的切点为Q，若，则C的离心率为（ ）A. B. 3C. D. 【答案】C【解析】【分析】由双曲线的定义、对称性和内切圆的切线性质，结合离心率公式即可得到所求值【详解】设的内切
4、圆在边上的切点为，在上的切点为， 如图所示：则 ， 由双曲线的对称性可得， 由双曲线的定义可得，解得， 又，即有， 离心率 故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，考查内切圆的切线性质，注意运用双曲线的定义是解题的关键，属于中档题7. 在二项式的展开式中，各项系数的和为128，把展开式中各项重新排列，则有理项都互不相邻的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由系数和为128可得即可求出，由二项式定理写出展开式的通项，即可求出有理项、无理项数，结合排列中的插空法可求出有理项都互不相邻的的概率.【详解】解：二项式的展开式中第项为，则，则，则展开式中有项，当时，即有理项
5、有项，无理项有项，项重新排列共种排列数，先排列无理项共种排列数，要使得有理项不相邻，则项有理项的排列数为，所以有理项都互不相邻的概率为，故选: D.【点睛】本题考查了二项式定理，考查了排列数的计算，考查了插空法.本题的关键是求出的值.8. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】函数有两个零点，即方程有两个根，设，求出，研究出函数的单调性，由的图象与有两个交点，得出参数的范围,得到答案.【详解】函数有两个零点由题意得方程有两个根.设，则设，则所以在上单调递减，又当，所以在上单调递增,当，所以在上单调递减,又，当时，则所以存在，即在上，又当
6、时，幂函数、对数函数的增加速度的快慢，可知时，作出函数的大致图象如下. 所以方程有两个根，即的图象与有两个交点，所以实数的取值范围是，故选：B【点睛】本题考查已知函数的零点个数求参数取值范围的问题，考查分离参数的方法，考查利用导数研究函数的单调性，属于难题题.二多项选择题9. CPI是居民消费价格指数的简称，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标.同比一般情况下是今年第n月与去年第n月比；环比，表示连续2个统计周期(比如连续两月)内的量的变化比.如图是根据国家统计局发布的2019年4月2020年4月我国CPI涨跌幅数据绘制的折线图，根据该折线图，则下列说法
7、正确的是（ ）A. 2020年1月CPI同比涨幅最大B. 2019年4月与同年12月相比较，4月CPI环比更大C. 2019年7月至12月，CPI一直增长D. 2020年1月至4月CPI只跌不涨【答案】AB【解析】【分析】根据折线图数形结合，逐一分析即可；【详解】解：对于，由同比折线可发现2020年1月CPI同比涨幅最大，故正确；对于，由图可知2019年4月环比涨幅为，2019年12月为，故正确；对于，由环比定义可知，2019年10月至12月间，下跌，故错误；对于，由环比定义可知，2020年1月至4月间，3月到4月增涨，故错误；故选：AB【点睛】本题考查折线统计图的识别，考查学生合情推理的能力
8、以及阅读理解能力，属于中档题10. 记数列an的前n项和为Sn，若存在实数H，使得对任意的nN+，都有H，则称数列an为“和有界数列”.下列说法正确的是（ ）A. 若an是等差数列，且公差d=0，则an是“和有界数列”B. 若an是等差数列，且an是“和有界数列”，则公差d=0C. 若an是等比数列，且公比l，则an是“和有界数列”D. 若an是等比数列，且an是“和有界数列”，则an的公比l【答案】BC【解析】【分析】求出等差数列和等比数列的前项和，然后根据定义判断【详解】是等差数列，公差为，则，A，则，若，则时，an不是“和有界数列”，A错；B若an是“和有界数列”，则由知，即，B正确；C
9、an是等比数列，公比是，则，若，则时，根据极限的定义，一定存在，使得，对于任意成立，C正确；D若，则，an是“和有界数列”，D错故选：BC【点睛】本题考查数列新定义，考查等差数列和等比数列的前项和公式及数列的极限，解题关键是正确理解新定义“和有界数列”，把问题转化为转化，考查了学生的转化与化归能力，逻辑思维能力11. 九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”.如图在堑堵ABC-A1B1C1中，ACBC，且AA1=AB=2.下列说法正确的是（ ）A. 四棱锥B-A1ACC1为“
10、阳马”B. 四面体A1C1CB为“鳖膈”C. 四棱锥B-A1ACC1体积最大为D. 过A点分别作AEA1B于点E，AFA1C于点F，则EFA1B【答案】ABD【解析】【分析】根据新定义结合线面垂直的证明，对选项进行逐一判断，可得出答案.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”.所以在堑堵ABC-A1B1C1中，ACBC，侧棱平面.在选项A中. 所以，又ACBC，且,则平面.所以四棱锥B-A1ACC1为“阳马”，故A正确.在选项B中. 由ACBC，即，又且,所以平面.所以，则为直角三角形.又由平面，得为直角三角形.由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形 .所以四面体A
11、1C1CB“鳖膈”，故B正确.在选项C中. 在底面有,即当且仅当时取等号.,所以C不正确.在选项D中.由上面有平面，则,AFA1C且,则平面所以,AEA1B且,则平面,则,所以D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查立体几何中的新定义问题，考查线线垂直，线面垂直的证明，考查四棱锥的体积的最值，属于中档题.12. 已知，下面结论正确的是（ ）A. 若f(x1)=1，f(x2)=，且的最小值为，则=2B. 存在(1，3)，使得f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称C. 若f(x)在0，2上恰有7个零点，则的取值范围是D. 若f(x)在上单调递增，则的取值范围是(0，【答案】BCD【
12、解析】【分析】由二倍角公式和诱导公式化简函数式，然后根据正弦定理的性质周期性、奇偶性、零点、单调性分别判断各选项【详解】由题意，A题意说明函数相邻两个最值横坐标之差为，周期为，A错；Bf(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象解析式是，时，是偶函数，图象关于轴对称，B正确；C时，在上有7个零点，则，解得，C正确；Df(x)在上单调递增，则，又，故解得，D正确故选：BCD【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查正弦型函数的周期性、奇偶性、零点、单调性，考查二倍角公式、诱导公式等，考查了学生的逻辑推理能力，运算求解能力三填空题13. 以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为_.【
13、答案】【解析】【分析】求得抛物线焦点坐标和准线方程，得到圆的圆心和半径，由此求得圆的方程.【详解】抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，所以圆的圆心为，半径为，故圆的标准方程为.故答案为：【点睛】本小题主要考查抛物线性质，考查圆的方程的求法，属于中档题.14. 我国有“三山五岳”之说，其中五岳是指：东岳泰山，南岳衡山，西岳华山，北岳恒山，中岳嵩山.某位老师在课堂中拿出这五岳的图片，打乱顺序后在图片上标出数字15，他让甲乙丙丁戊这五位学生来辨别，每人说出两个，学生回答如下：甲：2是泰山，3是华山；乙：4是衡山，2是嵩山；丙：1是衡山，5是恒山；丁：4是恒山，3是嵩山；戊：2是华山，5是泰山
14、.老师提示这五个学生都只说对了一半，那么五岳之尊泰山图片上标的数字是_.【答案】5【解析】【分析】先分析甲、戊两个学生，可知甲回答的3是华山是正确的，然后依次判断丙、丁、乙即可.【详解】若甲：2是泰山是正确的，则戊：2是华山，5是泰山都是错的，故甲：3是华山是正确的；戊：5是泰山是正确的；丙：1是衡山是正确的；丁：4是恒山是正确的；乙： 2是嵩山是正确的，故五岳之尊泰山图片上标的数字是5.故答案为：5【点睛】本题主要考查逻辑推理能力，属于能力提升题.15. 已知函数f(x)=，若0ab0)的左右焦点分别为F1，F2点.M为椭圆上的一动点， MF1F2面积的最大值为4.过点F2的直线l被椭圆截得
15、的线段为PQ，当lx轴时，.（1）求椭圆C的方程；（2）过点F1作与x轴不重合的直线l，l与椭圆交于A，B两点，点A在直线上的投影N与点B的连线交x轴于D点，D点的横坐标x0是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）是定值，定值为.【解析】【分析】（1）根据已知条件有，结合即可求出参数，即可得椭圆C的方程；（2）由直线与椭圆的交点关系联立方程并整理，结合根与系数关系得到，进而由已知条件写出的方程，并确定与x轴交点是否为定点即可.【详解】（1）由题意：的最大面积，又，联立方程，解得，所以椭圆的方程为；（2）D的横坐标为定值，理由如下：已知直线斜率不为零，代入，即，整理
16、得，设且均不为零，两式相除得，设的方程，令，将代入，点的横坐标为定值【点睛】本题考查了利用已知条件找到椭圆参数的关系求椭圆方程，根据直线与椭圆的位置关系判断是否为定值的问题.22. 已知函数f(x)=lnxx+1.（1）求f(x)的最大值；（2）设函数g(x)=f(x)+a(x1)2，若对任意实数b(2，3)，当x(0，b时，函数g(x)的最大值为g(b)，求a的取值范围；（3）若数列an的各项均为正数，a1=1，an+1=f(an)+2an+1(nN+).求证：an2n1.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数，由导函数确定单调性，最大值（2）求出，若，由
17、函数在上的单调性知不合题意在时，得出的解，和，分类讨论，和，确定单调性和最值，得出不等关系后可得所求结论；（3）数列递推是，利用（1）中函数的单调性得这样数列的递推等式关系变为递推故，利用此不等式让逐步缩小到1可证明结论成立【详解】（1）的定义域为，当时单调递增；当时单调递减，所以（2）由题意当时，函数上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实数，使得当时，函数最大值为.当时，令有，(i)当时，函数在上单调递增，显然符合题意.(ii)当，即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，且，要使对任意实数当时，函数的最大值为，只需，解得，又，所以此时实数的取值范围是.(iii)当，即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，要对任意实数当时，函数的最大值为需代入化简得，令，因为恒成立，故恒有，所以时，式恒成立，综上，实数的取值范围是.（3）由题意，正项数列满足：由（1）知：，即有不等式由已知条件知故从而当时，所以有，对也成立，所以有【点睛】本题考查用导数求函数的最值，证明不等式成立，考查数列的递推关系解题关键是用导数确定函数的单调性，得极值，再由最值定义确定最值而不等式的证明的关键是利用题中函数不等式进行放缩，化简递推关系
