1、第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空间向量的数量积运算 课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法(重点)3.能用向量的数量积解决立体几何问题(难点)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知1空间向量的夹角(1)夹角的定义图3-1-15已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 OA a，OB b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(
2、2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角的取值范围是0，特别地，当0时，两向量同向共线；当时，两向量反向共线，所以若ab，则a，b0或；当a，b2时，两向量，记作.垂直ab课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作ab.即ab(2)数量积的运算律：数乘向量与数量积的结合律(a)ba交换律ab分配律a(bc)|a|b|cosa，b|a|b|cosa，babac(ab)(b)ba课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(3)空间两向量的数量积的性质：垂直若a，b是非零向量，则abab0
3、同向：则ab|a|b|共线反向：则ab|a|b|模a a|a|2|a|aa|ab|a|b|向量数量积的性质夹角为a，b的夹角，则cos|a|a|cosa，aab|a|b|课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思考：(1)若 ab0，则一定有 ab 吗？(2)若 ab0，则a，b一定是锐角吗？提示(1)若ab0，则不一定有ab，也可能a0或b0(2)当a，b0时，也有ab0，故当ab0时，ab不一定是锐角课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页基础自测1思考辨析(1)在ABC中，AB，BCB()(2)在正方体ABCD-ABCD中，AB与AC 的夹角为45
4、.()(3)0a0.()(4)若ab0，则a，b为钝角()答案(1)(2)(3)(4)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2已知正方体 ABCD-ABCD的棱长为 a，设ABa，AD b，AA c，则AB，BD 等于()A30B60 C90 D120D BDC 是等边三角形，AB，BD DC，BD 120.3已知|a|3，|b|2，ab3，则a，b_.【导学号：46342138】23 cosa，b ab|a|b|33212.所以a，b23.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页合 作 探 究攻 重 难空间向量的数量积运算(1)已知 a3p2q，bp
5、q，p 和 q 是相互垂直的单位向量，则 ab()A1 B2 C3 D4(2)如图 3-1-16 所示，在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，求值：课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页图 3-1-16(1)EFBA；(2)EFBD；(3)EFDC；(4)ABCD.解析(1)由题意知，pq0，p2q21所以 ab(3p2q)(pq)3p22q2pq1.答案 A课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)EFBA12BD BA12|BD|BA|cosBD，BA12cos 6014.(2)EFBD 12BD BD 1
6、2|BD|212.(3)EFDC 12BD DC 12DB DC 12cos 6014.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(4)ABCD AB(AD AC)ABAD ABAC|AB|AD|cosAB，AD|AB|AC|cosAB，ACcos 60cos 600.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 在几何体中求空间向量的数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.(4)代入公式 ab|a|b|c
7、osa，b求解.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练1(1)已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，点 E，F分别是 BC，AD 的中点，则AEAF_.【导学号：46342139】14a2 AEAFAB12BC 12AD12ABAD 14BCAD 12a2cos 6014a2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)在四面体 OABC 中，棱 OA，OB，OC 两两垂直，且 OA1，OB2，OC3，G 为ABC 的重心，则OG(OA OB OC)_.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页143 O
8、G OA AG OA 13(ABAC)OA 13(OB OA)(OC OA)13OB 13OC 13OAOG(OA OB OC)13OB 13OC 13OA(OA OB OC)13OB 213OC 213OA 2132213321312143.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页利用数量积证明空间的垂直关系 已知空间四边形 OABC 中，AOBBOCAOC，且 OAOBOC，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是 MN 的中点，求证：OGBC课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 连接 ON，设AOBBOCAOC，又设OA a，OB b，OC
9、 c，则|a|b|c|.又OG 12(OM ON)1212OA 12OB OC 14(abc)，BCcb.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页OG BC14(abc)(cb)14(acabbcb2c2bc)14(|a|2cos|a|2cos|a|2|a|2)0.OG BC，即 OGBC课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 用向量法证明垂直关系的步骤(1)把几何问题转化为向量问题(2)用已知向量表示所证向量(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为 0.(4)将向量问题回归到几何问题课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页
10、跟踪训练2如图 3-1-17，已知正方体 ABCD-ABCD，CD与 DC相交于点 O，连接 AO，求证：图 3-1-17(1)AOCD；(2)AC平面 BCD.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页证明(1)因为AO AD DO AD 12(DD DC)，因为CD DD DC，所以AO CD12(DD DC 2AD)(DD DC)12(DD DD DD DC DC DD DC DC 2AD DD 2AD DC)12(|DD|2|DC|2)0，所以AO CD，故AOCD.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)因为AC BC(ABBCCC)(BB
11、 BC)ABBB ABBCBCBB BCBCCC BB CC BC，可知ABBB 0，ABBC0，BCBB 0，BCBC|BC|2，CC BB|CC|2，CC BC0，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页所以AC BC|BC|2|CC|20，所以AC BC，所以 ACBC同理可证，ACBD.又 BC，BD平面 BCD，BCBDB，所以 AC平面 BCD.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页利用数量积求夹角 如图 3-1-18，在空间四边形 OABC 中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求异面直线 OA 与 BC 的夹角的余
12、弦值.【导学号：46342140】图3118课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究 求异面直线 OA 与 BC 所成的角，首先来求OA 与BC的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是0，2，而向量夹角的取值范围为0，注意角度的转化解 BCACAB，OA BCOA ACOA AB|OA|AC|cosOA，AC|OA|AB|cosOA，AB84cos 13586cos 1202416 2.cosOA，BC OA BC|OA|BC|2416 28532 25，异面直线 OA 与BC 的夹角的余弦值为32 25.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规
13、律方法 利用向量数量积求夹角问题的思路1求两个向量的夹角有两种方法：(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；(2)先求 ab，再利用公式 cosab ab|a|b|求 cosa，b，最后确定a，b课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2我们也可以用这种方法求两条异面直线所成的角，步骤如下：根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加上绝对值，进而求出异面直线所成的角
14、的大小课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练3.如图 3-1-19，已知直三棱柱 ABC-ABC中，ACBCAA，ACB90，D，E 分别为 AB，BB的中点图 3-1-19(1)求证：CEAD；(2)求异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)证明：设CAa，CBb，CC c，根据题意，|a|b|c|且 abbcca0.CEb12c，AD c12b12a.CEAD 12c212b20，CEAD，即 CEAD课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)AC ac，|AC|2|a|
15、，|CE|52|a|，AC CE(ac)b12c 12c212|a|2，cosAC，CE12|a|22 52|a|2 1010.异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值为 1010.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页利用数量积求距离探究问题1异面直线 AB，CD 所成的角为 60，则AB，CD 的值是多少？提示：AB，CD 60或 120课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2如图 3-1-20，已知线段 AB平面，BC，CDBC，DF平面，且DCF30，D 与 A 在 的同侧，若 ABBCCD2，试求 A，D 两点间的距离图 3-1-20课时分层
16、作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页提示：AD ABBCCD，|AD|2(ABBCCD)2|AB|2|BC|2|CD|22ABBC2ABCD2BCCD 122(22cos 9022cos 12022cos 90)8，|AD|2 2，即 A，D 两点间的距离为 2 2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页 如图 3-1-21 所示，在平行四边形 ABCD 中，ABAC1，ACD90，沿着它的对角线 AC 将ACD 折起，使 AB 与 CD 成 60角，求此时 B，D 间的距离图 3-1-21课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探
17、究 BD BAACCD 得到|BD|2的值，注意对BA，CD 的讨论 得B，D间的距离解 ACD90，ACCD0，同理可得ACBA0.AB 与 CD 成60角，BA，CD 60或BA，CD 120.又BD BAACCD，|BD|2|BA|2|AC|2|CD|22BAAC2BACD 2ACCD 3211cosBA，CD 当BA，CD 60时，|BD|24，此时 B，D 间的距离为 2；当BA，CD 120时，|BD|22，此时 B，D 间的距离为 2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 1.利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向
18、量模的大小问题加以计算2用数量积求两点间距离的步骤：(1)用向量表示此距离；(2)用其他向量表示此向量；(3)用公式 aa|a|2，求|a|；(4)|a|即为所求距离课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练4.如图 3-1-22 所示，在空间四边形 OABC 中，OA，OB，OC 两两成 60角，且 OAOBOC2，E 为 OA 的中点，F 为 BC 的中点，试求 E，F 间的距离图 3-1-22课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 EFEAAF12OA 12(ABAC)12OA 12(OB OA)(OC OA)12OA 12OB 12OC
19、，所以EF2 14OA 214OB 214OC 2212 12OA OB 212 12OA OC21212OB OC 2.|EF|2，即 E，F 间的距离为 2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂 达 标固 双 基1已知 e1，e2 为单位向量，且 e1e2，若 a2e13e2，bke14e2，ab，则实数 k 的值为()A6 B6C3D3B 由题意可得 ab0，e1e20，|e1|e2|1，(2e13e2)(ke14e2)0，2k120，k6.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，有下列命题：(
20、AA1 AD AB)23AB 2；A1C(A1B1 A1A)0；AD1 与A1B 的夹角为 60.其中真命题的个数为()【导学号：46342141】A1 B2 C3 D0课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页B 对于，(AA1 AD AB)2AA1 2AD 2AB 23AB 2，故正确；对于，A1C(A1B1 A1A)A1C AB1 0，故正确对于，AD1，A1B 120，故错课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3在空间四边形 OABC 中，OBOC，AOBAOC3，则 cosOA，BC的值为()A12B 22 C12 D0D OA BCOA(OC
21、 OB)OA OC OA OB|OA|OC|cosAOC|OA|OB|cosAOB12|OA|OC|12|OA|O B|0，OA BC，cosOA，BC0.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4在空间四边形 ABCD 中，ABCD BCAD CABD _.0 原式ABCD BC AD CA(AD AB)AB(CD CA)AD(BC CA)ABAD AD BA0.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5如图 3-1-23，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，M，N 分别是 A1B，B1C1 上的点，且 BM2A1M，C1N2B1N.设ABa，ACb，A
22、A1 C图3123(1)试用 a，b，c 表示向量MN；(2)若BAC90，BAA1CAA160，ABACAA11，求 MN 的长.【导学号：46342142】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)MN MA1 A1B1 B1N13BA1 AB13B1C1 13(ca)a13(ba)13a13b13C课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)(abc)2a2b2c22ab2bc2ac111021112211125，|abc|5，|MN|13|abc|53，即 MN 53.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（十五）点击上面图标进入 谢谢观看