1、学案6函数的奇偶性与周期性导学目标： 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题自主梳理1函数奇偶性的定义设函数yf(x)的定义域为A.如果对于任意的xA，都有_，则称f(x)为奇函数；如果对于任意的xA都有_，则称f(x)为偶函数2奇偶函数的性质(1)f(x)为奇函数f(x)f(x)f(x)f(x)_；f(x)为偶函数f(x)f(x)f(|x|)f(x)f(x)_.(2)f(x)是偶函数f(x)的图象关于_轴对称；f(x)是奇函数f(x)的图象关于_对称(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区
2、间内有_的单调性3函数的周期性(1)定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(xT)_，则称f(x)为_函数，其中T称作f(x)的周期若T存在一个最小的正数，则称它为f(x)的_(2)性质： f(xT)f(x)常常写作f(x)f(x)如果T是函数yf(x)的周期，则kT(kZ且k0)也是yf(x)的周期，即f(xkT)f(x)若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(xa)f(x)或f(xa)或f(xa)(a是常数且a0)，则f(x)是以_为一个周期的周期函数自我检测1已知函数f(x)(m1)x2(m2)x(m27m12)为偶函数，则m的值为_2如果定义域
3、为3a,5的函数f(x)为奇函数，那么实数a的值为_3(2009江西改编)已知函数f(x)是(，)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2 012)f(2 011)_.4设函数f(x)为奇函数，则a_.5若函数yf(x)是R上的偶函数，且在(，0上是增函数，且f(a)f(2)，则实数a的取值范围为_探究点一函数奇偶性的判定例1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)(x1) ；(2)f(x)x()；(3)f(x)log2(x)；(4)f(x)变式迁移1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x2x3；(2)f(x)；(3)f(x).探究点二函数单
4、调性与奇偶性的综合应用例2函数yf(x)(x0)是奇函数，且当x(0，)时是增函数，若f(1)0，求不等式fx(x)0的解集变式迁移2已知函数f(x)x3x，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0)，在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_.变式迁移3定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)f(2x)若f(x)在区间1,2上是减函数，则下列说法中正确的是_(填序号)在区间2，1上是增函数，在区间3,4上是增函数；在区间2，1上是增函数，在区间3,4上是减函数；在区间2，1上是减函数，在区间3,4上是增函数；在区间2，1上是减函数，在区间3,4上是减函数转化
5、与化归思想例(14分)函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围【答题模板】解(1)对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.2分(2)令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.4分令x11，x2x有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数6分(3)依题设有f(44)f(4)f
6、(4)2，f(164)f(16)f(4)3，8分f(3x1)f(2x6)3，即f(3x1)(2x6)f(64)10分f(x)为偶函数，f(|(3x1)(2x6|)f(64)11分又f(x)在(0，)上是增函数，f(x)的定义域为D.0|(3x1)(2x6)|64.解上式，得3x5或x或x3.13分x的取值范围为x|x或x3或30，从而得出0|g(x)|a，解之得x的范围【易错点剖析】在(3)中，由f(|(3x1)(2x6)|)f(64)脱掉“f”的过程中，如果思维不缜密，不能及时回顾已知条件中函数的定义域中x|x0，易出现0|(3x1)(2x6)|64，导致结果错误1正确理解奇函数和偶函数的定
7、义，必须把握好两个问题：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；f(x)f(x)或f(x)f(x)是定义域上的恒等式2奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)3奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性4关于函数周期性常用的结论：对于函数f(x)，若有f(xa)f(x)或f(xa)或f(xa)(a为常数且a0)，则f(x)的一个周期为2a.(满分：90分)
8、一、填空题(每小题6分，共48分)1(2011南京模拟)已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值为_2(2010银川一中高三年级第四次月考)已知定义域为x|x0的函数f(x)为偶函数，且f(x)在区间(，0)上是增函数，若f(3)0，则1，f(2)，则m的取值范围为_8(2011苏北联考)已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)f(x1)，若f(2)2，则f(2 010)的值为_二、解答题(共42分)9(14分)已知f(x)是定义在6,6上的奇函数，且f(x)在0,3上是x的一次式，在3,6上是x的二次式，且当3x6时，f(x)f(5)3，f(
9、6)2，求f(x)的表达式10(14分)设函数f(x)x22|x|1(3x3)，(1)证明f(x)是偶函数；(2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；(4)求函数的值域11(14分)(2011南通调研)已知函数f(x)x2(x0，常数aR)(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在2，)上为增函数，求实数a的取值范围答案 自主梳理1f(x)f(x)f(x)f(x)2.(1)00(2)y原点(3)相反3.(1)f(x)周期最小正周期(2)2a自我检测12解析因为f(x)为偶函数，所以奇次项系数为0，即m2
10、0，所以m2.2831解析f(2 012)f(2 011)f(2 012)f(2 011)f(0)f(1)log21log2(11)1.41解析f(1)0，f(1)2(a1)0，a1.代入检验f(x)是奇函数，故a1.5a2或a2解析由f(x)是R上的偶函数知，f(x)在0，)上是减函数因为f(a)f(2)等价于f(|a|)f(2)所以|a|2，解得a2或a2.课堂活动区例1解题导引判断函数奇偶性的方法(1)定义法：用函数奇偶性的定义判断(先看定义域是否关于原点对称)(2)图象法：f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)为偶函数(3)基本函数法：把
11、f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式，通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性解(1)定义域要求0且x1，1x1，f(x)定义域不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数(2)函数定义域为(，0)(0，)f(x)x()x()x()x()f(x)f(x)是偶函数(3)函数定义域为R.f(x)log2(x)log2log2(x)f(x)，f(x)是奇函数(4)函数的定义域为(，0)(0，)当x0，则f(x)(x)2x(x2x)f(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x)对任意x(，0)(0，)都有f(x)f(x)故f(x)为奇函数变式迁移1解(1
12、)由于f(1)2，f(1)0，f(1)f(1)，f(1)f(1)，从而函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)f(x)的定义域为1,1，关于原点对称，又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，f(x)既是奇函数又是偶函数(3)由得，f(x)定义域为2,0)(0,2定义域关于原点对称，又f(x)，f(x)，f(x)f(x)，f(x)为奇函数例2解题导引本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反解yf(x)为奇函数，且在(0，)上为增函数，yf(x)在(，0
13、)上单调递增，且由f(1)0得f(1)0.若fx(x)0f(1)，则即0x(x)1，解得x或x0.若fx(x)0f(1)，则由x(x)1，解得x.原不等式的解集是x|x或x0变式迁移2(2，)解析易知f(x)在R上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx2)f(x)0，等价于f(mx2)f(x)f(x)，此时应用mx2x，即mxx20)在8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1x2x3x4.由对称性知x1x212，x3x44，所以x1x2x3x41248.变式迁移3解析f(x)f(2x)，f(x1)f(1x)x1为函数f(x)的一条对称轴又f(x2)f2(x2)f(x)f
14、(x)，2是函数f(x)的一个周期根据已知条件画出函数简图的一部分，如图：由图象可以看出，在区间2，1上是增函数，在区间3,4上是减函数课后练习区1.解析依题意得，ab.2(3,0)(3，)解析由已知条件，可得函数f(x)的图象大致为下图，故f(2)解析由yf(x1)是偶函数，得到yf(x)的图象关于直线x1对称，f(1)f(3)又f(x)在1，)上为单调增函数，f(3)f(2)，即f(1)f(2)61解析f(x)是奇函数，且xR，f(0)0，即a0.又f(1)f(1)，b1(11)0，即b1，因此ab1.7(1，)解析f(x3)f(x)，f(2)f(13)f(1)f(x)为奇函数，且f(1)
15、1，f(1)f(1)1，1.解得：1m.82解析由g(x)f(x1)，得g(x)f(x1)，又g(x)为R上的奇函数，g(x)g(x)，f(x1)f(x1)，即f(x1)f(x1)，用x1替换x，得f(x)f(x2)又f(x)是R上的偶函数，f(x)f(x2)f(x)f(x4)，即f(x)的周期为4.f(2 010)f(45022)f(2)2.9解由题意，当3x6时，设f(x)a(x5)23，f(6)2，2a(65)23.a1.f(x)(x5)23(3x6)(4分)f(3)(35)231.又f(x)为奇函数，f(0)0.一次函数图象过(0,0)，(3，1)两点f(x)x(0x3)(8分)当3x
16、0时，x0,3，f(x)(x)x.又f(x)f(x)，f(x)x.f(x)x(3x3)(10分)当6x3时，3x6，f(x)(x5)23(x5)23.又f(x)f(x)，f(x)(x5)23.(13分)f(x)10解(1)f(x)(x)22|x|1x22|x|1f(x)，即f(x)f(x)f(x)是偶函数(3分)(2)当x0时，f(x)x22x1(x1)22，当x0时，f(x)x22x1(x1)22，即f(x)根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图(7分)(3)由(2)中函数图象可知，函数f(x)的单调区间为3，1，1,0，0,1，1,3f(x)在3，1和0,1上为减函数，在1,0，1,3
17、上为增函数(10分)(4)当x0时，函数f(x)(x1)22的最小值为2，最大值为f(3)2；当x0时，函数f(x)(x1)22的最小值为2，最大值为f(3)2；故函数f(x)的值域为2,2(14分)11解(1)当a0时，f(x)x2对任意x(，0)(0，)，有f(x)(x)2x2f(x)，f(x)为偶函数(2分)当a0时，f(x)x2(x0，常数aR)，若x1时，则f(1)f(1)20；f(1)f(1)，又f(1)f(1)，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(6分)综上所述，当a0时，f(x)为偶函数；当a0时，f(x)为非奇非偶函数(7分)(2)设2x1x2，f(x1)f(x2)xxx1x2(x1x2)a，(10分)要使f(x)在x2，)上为增函数，必须使f(x1)f(x2)0恒成立x1x24，即a4，x1x2(x1x2)16，a的取值范围为(，16(14分)
