1、【学生版】微专题：平面向量共线定理及应用共线向量定理：向量与非零向量()共线有且只有一个实数，使得；（1）要注意向量，共线，只需证明存在实数，使得即可.（2）如果，实数仍然存在，此时并不唯一，是任意数值；.平面向量共线定理的应用（1）证明向量共线：对于非零向量，若存在实数，使，则与共线；【注意】对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量与共线是指与所在的直线平行或重合向量共线的充要条件中要注意“”，否则可能不存在，也可能有无数个；（2）证明三点共线：若存在实数，使，则A，B，C三点共线；【注意】证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共
2、点时，才能得出三点共线；对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，不共线，满足(x，yR)，则P，A，B共线xy=1；【典例】例1、设，为非零向量，其中任意两向量不共线，已知与共线，且与共线，则与是否共线？请证明你的结论；【提示】；【答案】【解析】【说明】例2、如图，已知，分别是四边形的边，的中点，用向量法证明：四边形是平行四边形。例3、设两个非零向量与不共线；（1）若，求证：A，B，D三点共线；（2）试确定实数，使和共线；例4、如图，在中，分别是，的中点，若（、），且点落在四边形内（含边界），求：的取值范围。【归纳】平面向量共线向量定理：向量()与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得平面向
3、量共线定理的几个应用：（1）证明向量共线：对于向量，若存在实数，使(，则与共线（2）证明三点共线：若存在实数，使，则A，B，C三点共线（3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值【注意】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点；求解向量共线问题的注意事项：（1）向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用；（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线；（3）直线的向量式参数方程：三点共线(为平面内任一点，)【即时练习
4、】1、已知O为ABC内一点，且()，t，若B，O，D三点共线，则t()A. B C. D2、设P是ABC所在平面内的一点，且2，则PAB与PBC的面积的比值是()A. B. C. D. 3、在ABC中，A60，A的平分线交BC于点D，若AB4，且(R)，则AD的长为_4、如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D，若mn，则mn的取值范围是_5、如图，在OPQ中，M，N分别是边OP，OQ的中点，点R在直线MN上，且xy(x，yR)，则代数式的最小值为_6、向量与不共线，且与共线，探究应满足的关系；【教师版】微专题：平面向量共线定理及应用共线向量定理：向量
5、与非零向量()共线有且只有一个实数，使得；（1）要注意向量，共线，只需证明存在实数，使得即可.（2）如果，实数仍然存在，此时并不唯一，是任意数值；.平面向量共线定理的应用（1）证明向量共线：对于非零向量，若存在实数，使，则与共线；【注意】对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量与共线是指与所在的直线平行或重合向量共线的充要条件中要注意“”，否则可能不存在，也可能有无数个；（2）证明三点共线：若存在实数，使，则A，B，C三点共线；【注意】证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；对于三点共线有以下结论：对于平面上
6、的任一点O，不共线，满足(x，yR)，则P，A，B共线xy=1；【典例】例1、设，为非零向量，其中任意两向量不共线，已知与共线，且与共线，则与是否共线？请证明你的结论；【提示】注意：理解两非零向量共线的充要条件；由共线定理结合已知可得向量方程，然后解答；【答案】与共线【解析】因为， 与共线，所以，存在唯一实数，使得，又因为，与共线，所以，存在唯一实数，使得，由得，所以，又因为，与不共线，所以，所以，即，所以，故与共线；【说明】本题考查利用了共线定理判断向量共线与共线定理在判定向量共线方面的应用；例2、如图，已知，分别是四边形的边，的中点，用向量法证明：四边形是平行四边形。【提示】注意：理解与转
7、化“平行四边形”的向量表示与需满足的条件；连接，证得和，即可求解；【解析】如图所示：连接， 因为，是，的中点，所以，且，即，同理可得：；所以，又因为、不在一条直线上，所以四边形是平行四边形；【说明】本题考查利用了共线定理判断线线平行与共线定理在判定线线平行方面的应用；例3、设两个非零向量与不共线；（1）若，求证：A，B，D三点共线；（2）试确定实数，使和共线；【提示】注意：用好与用活平面向量共线定理【解析】（1）证明：因为，28，3()，所以，283()28335()5，所以，共线；又因为，它们有公共点B，所以，A，B，D三点共线；（2）假设k与k共线，则存在实数，使k(k)，即(k) (k1
8、)；.又，是两个不共线的非零向量，所以，kk10.所以，消去，得k210，则，k1；【说明】本题考查了利用平面向量共线定理判断三点共线；注意：证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线，共线； 例4、如图，在中，分别是，的中点，若（、），且点落在四边形内（含边界），求：的取值范围。【提示】注意：利用利用平面向量共线定理将参数进行代数转化；【答案】；【解析】分三种情况讨论：当P在线段AB上时，设，则；由于xy，(x，yR)，所以，x，y，故xy1；此时y0，1，所以；当P在线段MN上时，设，则；因
9、为xyxy(x，yR)，所以x，y，故xy2；此时y0，2，所以；当P在四边形ABNM内(含边界)，则x0，y0.，所以的取值范围为；【说明】本题考查利用向量共线定理求参数；【归纳】平面向量共线向量定理：向量()与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得平面向量共线定理的几个应用：（1）证明向量共线：对于向量，若存在实数，使(，则与共线（2）证明三点共线：若存在实数，使，则A，B，C三点共线（3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值【注意】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点；求解向量共线问题的注意事项：（1）向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量
10、才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用；（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线；（3）直线的向量式参数方程：三点共线(为平面内任一点，)【即时练习】1、已知O为ABC内一点，且()，t，若B，O，D三点共线，则t()A. B C. D【答案】B；【解析】设E是BC边的中点，则()，由题意得，所以()，又因为B，O，D三点共线，所以1，解得t，故选B；2、设P是ABC所在平面内的一点，且2，则PAB与PBC的面积的比值是()A. B. C. D. 【答案】B；【解析】因为2，所以，又PAB
11、在边PA上的高与PBC在边PC上的高相等，所以.3、在ABC中，A60，A的平分线交BC于点D，若AB4，且(R)，则AD的长为_【答案】3；【解析】因为B，D，C三点共线，所以1，解得，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则，因为ABC中，A60，A的平分线交BC于点D，所以四边形AMDN是菱形，因为AB4，所以ANAM3，AD3.4、如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D，若mn，则mn的取值范围是_【答案】(1，0)【解析】由点D是圆O外的一点，可设(1)，则(1).因为C，O，D三点共线，令(1)，所以(1，1)因为mn，所以m，n，则mn(1，0)5、如图，在OPQ中，M，N分别是边OP，OQ的中点，点R在直线MN上，且xy(x，yR)，则代数式的最小值为_【答案】；【解析】因为M，R，N三点共线，所以存在实数t，使得t(1t)，因为M，N分别是边OP，OQ的中点，所以，所以t(1t)，又xy，所以xt，y(1t)，所以xy，所以x2y2，当且仅当xy时，等号成立，所以，即的最小值为.6、向量与不共线，且与共线，探究应满足的关系；【提示】由与共线，故 ，代入可得，列出等式方程组，即得解；【答案】【解析】由与共线，故，即，故，可得；
