1、学案59几何概型导学目标： 了解几何概型的意义自主梳理1几何概型设D是一个可度量的区域，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关，则称这样的概率模型为几何概型2几何概型中，事件A的概率计算公式：P(A).3古典概型与几何概型的区别(1)相同点：基本事件发生的可能性都是_；(2)不同点：古典概型的基本事件是有限个，是可数的；几何概型的基本事件是_，是不可数的自我检测1在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并且以线
2、段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为_2(2011福建改编)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于_3. 如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A，连结AA，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为_4(2010湖南)在区间1,2上随机取一个数x，则|x|1的概率为_5(2011江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书则小波周末不在家看书的概率
3、为_探究点一与长度有关的几何概型例1国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min长的磁带上，从开始30 s处起，有10 s长的一段内容包含两间谍犯罪的信息后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了那么由于按错了键使含有犯罪的内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？变式迁移1在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为_探究点二与角度有关的几何概型例2如图所示，在等腰RtABC中，过直角顶点C在ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AMb.
4、当ab时，a，b取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即A包含的基本事件数为6，方程f(x)0有两个不相等实根的概率为P(A).7分(2)a从区间0,2中任取一个数，b从区间0,3中任取一个数，则试验的全部结果构成区域(a，b)|0a2,0b3，这是一个矩形区域，其面积S236.9分设“方程f(x)0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为M(a，b)|0a2,0b3，ab，即图中阴影部分的梯形，其面积SM6224.12分由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)0没有实根的概率为P(B).14分【突破思维障碍】古典概型和几何概型的区别在于试验的全
5、部结果是否有限，因此到底选用哪一种模型，关键是对试验的确认和分析第(1)问关键是列举不重不漏隐含了分类讨论思想第(2)问是几何概型问题，解决此问题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中的面积型几何概型问题，隐含了数形结合思想【易错点剖析】1计算古典概型的概率时，列举基本事件应不重不漏2计算几何概型的概率时，区域的几何度量要准确无误1几何概型：若一个试验具有两个特征：每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；每次试验的各种结果是等可能的那么这样的试验称为几何概型2由概率的几何定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落
6、入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关3几何概型的概率公式：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域，事件A所对应的区域用A表示(A)，则P(A).(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1(2009辽宁)ABCD为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为_2(2010天津和平区一模)在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，则PBC的面积大于的概率是_3(2010山东临沂一中期末)已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VPABCVSABC的概率为_
7、4已知正方体ABCDA1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCDA1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是_5已知函数f(x)x2bxc，其中0b4,0c4.记函数f(x)满足的事件为A，则事件A的概率为_6(2010青岛一模)从集合(x，y)|x2y24，xR，yR内任选一个元素(x，y)，则x，y满足xy2的概率为_7. 如图所示，半径为10 cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm的小圆现将半径为1 cm的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为_8(2010济南模拟)在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对(x，y
8、)的概率是_二、解答题(共42分)9(14分) 已知等腰RtABC中，C90.(1)在线段BC上任取一点M，求使CAM30的概率；(2)在CAB内任作射线AM，求使CAM0成立时的概率学案59几何概型答案自主梳理3(1)相等的(2)无限个自我检测1.解析AM 236,81，AM6,9，P.2.解析这是一道几何概型的概率问题，点Q取自ABE内部的概率为.3解析当AOA时，AAOA，P.4解析由|x|1，得1x1.由几何概型的概率求法知，所求的概率P.5解析去看电影的概率P1，去打篮球的概率P2，不在家看书的概率为P.课堂活动区例1解题导引解决概率问题先判断概型，本题属于几何概型，满足两个条件：基
9、本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性，需要抓住它的本质特征，即与长度有关解包含两个间谍谈话录音的部分在30 s和40 s之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0到30 s之间时全部被擦掉，即在0到40 s之间，即0到 min之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30 min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件记A按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，A的发生就是在0到 min时间段内按错键P(A).变式迁移1
10、解析记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A，如图所示，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型的概率公式得P(A).例2解题导引如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P(A).解在AB上取ACAC，连结CC，则ACC67.5.设A在ACB内部作出一条射线CM，与线段AB交于点M，AMAC，则90，A67.5，P(A).变式迁移2解不一样，这时M点可取遍AC(长度与AC相等)上的点，故此事件的概率应为.例3解题导引解决此题的关键是将已知
11、的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中与面积有关的几何概型问题对于几何概型的应用题，关键是构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点，便可构造出度量区域解设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定的时间范围内相见当且仅当|xy|.两人在约定时间内到达约见地点的所有可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人在约定时间内相见的所有可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)的点来表示因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定
12、时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率，即P.变式迁移3解设甲、乙两船到达时间分别为x、y，则0x24,0y24且yx4或yx4.作出区域设“两船无需等待码头空出”为事件A，则P(A).课后练习区11解析当以O为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P(A)1.2解析由于ABC、PBC有公共底边BC，所以只需P位于线段BA靠近B的四分之一分点E与A之间，即构成一个几何概型，所求的概率为.3解析当P在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P1.4解析设正方体棱长为a，则正方体的体积为a3，内切球的体积为3
13、a3，故M在球O内的概率为.5解析满足0b4,0c4的区域的面积为4416，由，得，其表示的区域如图中阴影部分所示，其面积为(24)22410，故事件A的概率为.6解析即图中弓形面积占圆面积的比例，属面积型几何概型：.7解析由题意知，硬币的中心应落在距圆心29 cm的圆环上，圆环的面积为922277，故所求概率为.8解析根据题意易知输出数对(x，y)的概率即为满足x2y2的平面区域与不等式组所表示的平面区域面积的比，即P(A).9解(1)设CMx，则0xa(不妨设BCa)若CAM30，则0xa，故CAM30的概率为P(A).(7分)(2)设CAM，则045.若CAM30，则030，故CAM0，ab1，此为几何概型，所以事件“f(1)0”的概率为P.(14分)