1、第6章 平面图形的认识（一） 6.5 垂直目标导航课程标准课标解读1、 学生能通过量两条线段，两条直线之间的交角是否为直角初步形成垂直概念。2、 通过画直角、折出相交成直角的折痕建立垂直的表象。3、 能用语言、符号表示两条线段、直线互相垂直。1理解互相垂直是两条直线相交成直角时的一种特殊的位置关系；垂直的关键是：两条直线相交成直角，而直角是学生已学的知识，因此，直角是新、旧知识的衔接点。2.熟练地过一点画出一条直线的垂线或平行线，并会度量点到直线距离.知识精讲知识点01 垂线1垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，
2、它们的交点叫做垂足如下图，两条直线互相垂直，记作或ABCD垂直于点O.【微点拨】垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：CDAB【即学即练1】1如图，直线与相交于点，则的度数为（ ）ABCD【答案】B【分析】根据对顶角相等得到AED，根据垂直的定义求出AEF，相加可得结果【详解】解：CEB=50，AED=50，EFAE，AEF=90，DEF=AED+AEF=50+90=140，故选B知识点02 垂线的画法过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则
3、所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)【微点拨】(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段【即学即练2】2如图，点在直线外，点、在直线上，若，则点到直线的距离可能是（ ）A3B4C5D7【答案】A【分析】如图作直线于，直线外一点，与直线上的任意点连接所形成的的线段中，点到直线的距离最短，结合选项，再根据直角三角形的性质推断出点到直线的距离【详解】如图作直线于，为点到直线的距离，只有A选项符合题意，故选：A知识点03 垂线的性质（1）在同一平面内，过一点有且只
4、有一条直线与已知直线垂直（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短简单说成：垂线段最短【微点拨】（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题【即学即练3】3如图，如果直线直线a，直线直线a，那么与重合（即O，M，N三点共线），其理由是（ ）A在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂
5、直C两点确定一条直线D垂线段最短【答案】A【分析】利用垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可解答【详解】解：如果直线ON直线a，直线OM直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选：A【即学即练4】4如图，点是直线外一点，都在直线上，于，下列线段最短的是（ ）ABCD【答案】C【分析】根据垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，即可求解【详解】因为点是直线外一点，都在直线上，于，所以，根据垂线段的性质可知：线段最短故选：C能力拓展考法01 点到直线的距离定义：直线外
6、一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离（1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度【典例1】点P是直线l外一点，A为垂足，且，则点P到直线l的距离（ ）A小于B等于C大于D不确定【答案】B【分析】根据点到直线的距离的定义得出即可【详解】解：根据点到直线的距离的定义得出P到直线l的距离是等于，故选：B考法02 垂线的性质（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短简单说成：垂线段最短【典例2】如图，连接直线
7、外一点P与直线上各点O，A1，A2，A3，其中PO，这些线段PO，PA1，PA1，PA3，中，最短的线段是（ ）APOBPA1CPA2DPA3【答案】A【分析】由点到直线的距离，垂线段最短，可得答案【详解】解：PO，最短的线段是线段PO，故选：A分层提分题组A 基础过关练1我们定义：如果两个角的差的绝对值等90，就可以称这两个角互为垂角，例如：1120，230，|12|90，则1和2互为垂角(本题中所有角都是指大于0且小于180的角)，如图，OCAB于点O，OEOD，图中所有互为垂角的角有( )A2对B3对C4对D6对【答案】C【分析】根据互为垂角的定义即可求解，以及OCAB于点O，OEOD，
8、即可找到图中互为垂角的角.【详解】解：OCAB，OEOD，|EOB-DOB|=90，|EOB-EOC|=90，|AOD-COD|=90，|AOD-AOE|=90；所以互为垂角的角有4对：EOB与DOB，EOB与EOC，AOD与COD，AOD与AOE；故选：C.2如图，ABC90，D是ABC内一点，DAAB于点A，DCBC于点C，连结BD若AD3，CD4，BD5，则点D到直线BC的距离h是（）Ah3Bh4Ch5D4h5【答案】B【分析】根据点到直线的距离的定义解答即可【详解】解：DCBC于点C，且DC4，点D到直线BC的距离h是线段DC的长，即h4，故选：B3如图，从位置P到直线公路MN有四条小
9、道，其中路程最短的是（）APABPBCPCDPD【答案】B【分析】根据垂线的性质即可得到结论【详解】解：根据垂线段最短得，能最快到达公路MN的小道是PB，故选：B4如图，已知ONl，OMl，所以OM与ON重合，其理由是（ ）A两点确定一条直线B同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线C垂线段最短D同一平面内，只有一条直线与已知直线垂直【答案】B【分析】利用“平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，逐一分析，排除错误答案【详解】解：A、点M、N可以确定一条直线，但不可以确定三点O、M、N都在直线l的垂线上，故本选项错误；B、直线OM、ON都经过一个点O，且都垂直于OL，故本选项
10、正确；C、在同一平面内，过直线外一点只能作一条垂线，故本选项错误；D、此题没涉及到线段的长度，故本选项错误；故选：B5如图，COAB，垂足为O，DOE90，下列结论不正确的是（）A1+290B2+390C1+390D3+490【答案】C【分析】根据垂直的性质得到BOC=AOC=90，然后结合图形可得结论【详解】解：如图，COAB，BOC=1+2=3+4=90，DOE=90，2+3=90，1+4=90，结论不正确的是：1+3=90，故选：C6如图，直线AB，CD相交于点O，在下列各条件中，能说明的有；A2个B3个C4个D5个【答案】B【分析】根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是
11、直角时，就说这两条直线互相垂直，据此判定即可【详解】解：，；，；和是对顶角，而，不能说明；不能说明；，；则能说明的有，共3个故选B7如图，现要从村庄修建一条连接公路的最短小路，过点作于点，沿修建公路就能满足小路最短，这样做的依据是( )A两点确定一条直线B两点之间，线段最短C垂线段最短D平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】C【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可【详解】解：从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，过点P作PCAB于点C，这样做的理由是垂线段最短故选：C题组B 能力提升练1点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，PA=1，PB=2，
12、PC=3，则点P到直线l的距离为（ ）A等于1B小于1C不大于1D不小于1【答案】C【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解答【详解】解：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，点P到直线l的距离hPA，即h1故选：C2在ABC中，BC=7，AC=4，CPAB，垂足为点P，则CP的长可能是（ ）A3B4C6D7【答案】A【分析】根据垂线段最短得出结论【详解】解：如图，根据垂线段最短可知：PC4，CP的长可能是3，故选：A3如图，点在直线上，若，则的度数是（ ）ABCD【答案】C【分析】根据垂直的定义可得AOC=90，再根据角的和差计算即可【详解】解：，A
13、OC=90，AOD=AOC+COD=90+52=142故选：C4在中，过点C作，垂足为P，则CP长的最大值为A5B4C3D6【答案】C【分析】根据垂线段最短可以知道点C到直线AB上任意一点的距离一定小于等于AC的长【详解】解：根据垂线段最短可知：，长的最大值为3故选：C5如图，射线OC的端点O在直线AB上，于点O，且OE平分，OF平分，若，则_【答案】60【分析】直接利用垂线的定义得出COE=90，再利用角平分线的定义得出DOF的度数【详解】解：OEOC于点O，COE=90，BOC=70，BOE=COE-BOC=90-70=20，OE平分BOD，DOE=BOE=20，AOB=180，AOE=1
14、80-BOE=180-20=160，OF平分AOE，EOF=AOE=80，DOF=EOF-DOE=80-20=60，故答案为：606如图，已知于，则的余角是_【答案】，【分析】根据垂直的定义和余角的定义，找和相加得90的角即可【详解】解：于，的余角是：，答案：，7在同一平面内，直线AB与直线CD相交于点O，射线，则的度数为_【答案】50或130【分析】先根据垂直的定义求出DOE=90，然后根据对顶角相等求出DOB的度数，再根据角的和差求出BOE的度数【详解】解：如图1：OECD，DOE=90，DOB=，BOE=90-40=50，如图2：OECD，DOE =90，DOB=，BOE=90+40=1
15、30，故答案为：50或130题组C 培优拔尖练1下列说法不正确的是（ ）A对顶角相等B两点确定一条直线C一个角的补角一定大于这个角D垂线段最短【答案】C【分析】根据对顶角的性质，直线的性质，补角的定义，垂线段的性质依次判断即可得到答案【详解】解：A、对顶角相等，故该项不符合题意；B、两点确定一条直线，故该项不符合题意；C、一个角的补角一定不大于这个角，故该项符合题意；D、垂线段最短，故该项不符合题意；故选：C2如图所示，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，则下列结论中不正确的是（ ）ABC与互为补角D的余角等于【答案】D【分析】根据垂直的定义及角平分线的性质判断A，利用对顶角的性质判断
16、B，利用邻补角的性质判断C，根据余角的定义判断D【详解】于点O，AOE=,OF平分，2=，故A正确；直线AB，CD相交于点O，1与3是对顶角，1=3，故B正确，,与互为补角，故C正确；，的余角=，故D错误，故选：D3如图，120，点、 在同一条直线上，则2的度数为（ ）A70B20C110D160【答案】C【分析】由和120求得BOC70，再由邻补角的定义求得2的度数【详解】和120，BOC90 -20 70，又2+BOC180 （邻补角互补），2110故选：C4如图，在三角形中，点是线段上任意一点，连接，则线段的长不可能是（ ）A3B4C5D6【答案】A【分析】根据垂线段最短即可判断【详解】
17、点A到线段CB最短的最短距离为AC=4AD的长最短为4故选A5已知A、B为平面上的2个定点，且AB=5若点A、B到直线l的距离分别等于2、3，则满足条件的直线共有()条A2B3C4D5【答案】B【分析】根据点到直线的距离的概念画出图形进行判断即可.【详解】解：如图1，在线段AB的两旁可分别画一条满足条件的直线；作线段AB的垂线l，将线段AB分成2、3两部分故选：B6如图，则的长度可能是()A3B5C3或5D4.5【答案】D【分析】根据垂线段最短可得3BD5【详解】解：ADBD，BCCD，AB=5，BC=3，BCBDAB，即3BD5故选：D7下列说法：相等的角是对顶角；平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 平行于同一条直线的两条直线互相平行； 同角或等角的余角相等，其中正确的说法有（ ）A4 个B3 个C2 个D1 个【答案】B【分析】根据对顶角相等但相等的角不一定是对顶角可得错误；根据垂线的性质可判断正确； 根据平行公理，可判断正确；根据余角的性质，分析即可判断【详解】
