1、6.3 二项式定理 （基础知识+基本题型）知识点一 二项式定理的猜想及证明1观察初中学习过的的特征：（1）左边是，右边的展开式含有3项；（2）右边的展开式也可以表示为，按的降幂排列，由此可见，右边的展开式中的每一项含有，且的指数和都是2；（3）右边的展开式按的降幂排列后，各项的系数分别为1,2,1从组合的观点看，的展开式中的项共3类，每一类都需要两个步骤完成：（1）不含的项，即，是在两个因式中不取，都取，共有个；（2）含1个的项，即，是在两个因式中一个取，一个取，共有个，即；（3）含的项，是在两个因式中都取，不取，共有个所以根据上面的分析，可以猜想：2 对任意正整数，叫做二项式定理等号右边的多
2、项式叫做的二项展开式，其中各项的系数（）叫做二项式系数用数学归纳法证明二项式定理如下：（1）当时，左边右边，所以等式成立（2）假设当时等式成立，即；当时，有，所以当时等式也成立由数学归纳法，知等式对一切都成立在上述证明过程中，使用了组合数的性质，知识点二 二项式定理中二项展开式的特点（1）共有项，比二项式的次数大1；（2）各项的次数（即，的次数和）都等于二项式的次数；（3）在排列方式上，按照字母的降幂排列从第一项起，字母的次数由次逐项减少1次直到0次，同时字母按照升幂排列，次数由0次逐项增加1次直到次；（4）二项展开式中，二项式系数依次为，这是一组仅与二项式的次数有关的个组合数，与，无关知识点
3、三 二项展开式的通项在二项展开式中，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，提示（1）通项是的展开式的第项，这里0，1，2，（2）字母，是一种“符号”，可以是数、式或其他，只要具备二项式的形式，就可以用二项式定理写出其展开式，如的展开式的通项为，的展开式的通项为（3）的第项与的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和不能随便交换（4）二项式系数都是组合数（），它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念（5）利用二项展开式的通项可以求出二项展开式中某些特殊的项（如常数项、含的次幂的项、有理项等）知识点四 “杨辉三角”及其蕴
4、含的规律当1，2，3，4，5，6时，分别计算的二项式系数，将结果写成如图的形式：11121133114641151010511615201561从上面可以看出如下规律：（1）在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；（2）在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和事实上，设表中任一不为1的数为，那么它肩上的两个数分别为及，容易证明：（3）当7，8，时，上面的规律依然成立 上图称为杨辉三角由杨辉三角可直观地看出二项式系数的性质，同时当二项式的次数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数知识点五 二项式系数的性质二项式系数的性质如下表所示：性质自然语言符号语言对
5、称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（，）增减性二项式系数（，），当时，二项式系数是逐渐增大的由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值当是偶数时，中间的一项取得最大值；当是奇数是，中间的两项相等，且同时取得最大值二项式系数（，），当是偶数时，中间的一项取得最大值；当是奇数是，中间的两项，相等，且同时取得最大值各二项式系数的和（1）的展开式的各个二项式系数的和等于；（2）在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和（1）；（2）拓展对于也可以从集合的角度解释设是含有个元素的集合，求的子集个数时，可以按照子集中含有元素的个数进行分类：没有元素的子集（即空集）
6、有个，含1个元素的子集有个，含2个元素的子集有个，含个元素的子集有个，故所有子集的个数为知识点六 二项展开式的系数问题求二项展开式系数的和的方法:（1）求二项展开式系数的和的关键是给字母赋值;（2）一般地，多项式各项的系数和为，奇数项的系数和为，偶数项的系数和为言，如二项式系数的性质及的证明就是赋值法在二项展开式中的运用“典范”类型一、求二项展开式的特定项或特定项的系数例1. 展开式中的常数项为（ ）. A. 80B. -80C. 40 D. -40解析：，令，得，故常数项为. 答案：C【总结升华】 记准、记熟二项式(a+b)n的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件，对较复杂的二项式
7、，有时先化简再展开会更简捷例2的展开式中的常数项为_(用数字作答). 解：解法一：反复利用二项式定理，即先把三项中的某两项视为一项，用二项式定理展开，然后运用二项式定理求解，具体过程略. 解法二：（化三项为二项)原式.求原式的展开式中的常数项，转化为求的展开式中含项的系数，即. 所以所求的常数项为.【总结升华】1.利用通项公式求给定项时避免出错的关键是弄清共有多少项,所求的是第几项,相应的是多少；2. 注意系数与二项式系数的区别；3. 在求解过程中要注意幂的运算公式的准确应用。例3 求二项式的展开式中的有理项 【思路点拨】 展开式中第r+1项为，展开式中的有理项，就是通项中x的指数为正整数的项
8、【解析】 设二项式的通项为，令，即r=0，2，4，6，8时，。，。 二项式的展开式中的常数项是第9项：；有理项是第1项：x20，第3项：，第5项：，第7项：，第9项：【总结升华】 求有理项是对x的指数是整数情况的讨论，要考虑到一些指数或组合数的序号的要求类型二、 二项式之积及三项式展开问题例4（1）的展开式中的系数是（）.A. 56B. 84C. 112D. 168【解析】在展开式中项为，展开式中项为，所以的系数为.故选D.【答案】D（2）在的展开式中，记项的系数为，则（）.A. 45B. 60C. 120D. 2102014浙江高考题【解析】由题意知，因此，选C.例题5 的展开式中的系数是_
9、.【解析】变换部分展开确定系数，或利用双通项来求解.解法一：，的系数为.解法二：的通项：，的通项：，的通项：（其中）. 令，则有或或故的系数为.故填5.【答案】5【点评】本题解法一仅适用于幂指数较小的二项式乘积的展开式，而解法二的双通项法则是解决这类问题的通法. 所谓双通项法就是根据多项式与多项式的乘法法则得到的展开式中的一般项为(注意这里含有的项不一定只有一项），再根据题目中对字母的指数的特殊要求，确定r与A：所满足的条件，进而求出所取的值的情况. 从而使问题顺利地解决. 推广到一般可得三通项法、四通项法类型三：有关二项式系数的性质及计算的问题例6. 已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式
10、系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项. 【解析】（1)先根据赋值法求出各项系数之和，根据题中条件求出的值，再根据展开式中二项式系数的性质得解；（2)只需让系数最大的项的系数大于其前一项的系数也大于其后一项的系数，列出不等式组，求解出项数即可. 【解】令，则展开式中各项系数和为. 又展开式中二项式系数和为. (1)，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项. 即(2)设展开式中第项系数最大，则解得，即展开式中第5项系数最大，【点评】（1)求展开式系数的最大值问题时，首先要区分“展开式系数最大”、“二项式系数最大”以及“最大项”、“项数”等；（2
11、)当二项式系数与系数的值不相等时，系数的最值问题可采用本例的方法进行，即比较相邻两项的系数，列出不等式组，求出的值即可. 类型四、利用赋值法进行求有关系数和。例7. 已知(12x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7，求：（1）a1+a2+a7；（2）a1+a3+a5+a7；（3）a0+a2+a4+a6；（4）|a0|+|a1|+|a2|+|a7|。【思路点拨】求展开式的各项系数之和常用赋值法【解析】 令x=1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=1 ，令x=1，则a0a1+a2a3+a4a5+a6a7=37 ，（1）因为a0=（或令x=9，得a0=1），所以a1+a2+a3+a
12、7=2。（2）由（）2得。（3）由（+）2得。（4）方法一：因为(12x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，所以|a0|+|a1|+|a2|+|a7|=(a0+a2+a4+a6)(a1+a3+a5+a7)=1093(1094)=2187。方法二：|a0|+|a1|+|a2|+|a7|，即(1+2x)7展开式中各项的系数和，所以|a0|+|a1|+|a7|=37=2187。【总结升华】 求展开式的各项系数之和常用赋值法。“赋值法”是解决二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值。一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x=0可得常数项，令x=1可得所有项系数之和，令x=1可得偶次项系数之和与奇次数系数之和的差，而当二项展开式中含负值时，令x=1则可得各项系数绝对值之和。
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