1、6.3 二项式定理一、单选题1如图，杨辉三角出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法中，它揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律由此可得图中第10行排在偶数位置的所有数字之和为（）A256B512C1024D10232在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（）ABCD3若的展开式中含项的系数为，则实数的值为（）ABCD4已知，则（）A280B35CD5旅游体验师小李受某旅游网站邀约，决定对甲乙丙丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为m，那么二项式的展开式中的系数为（）A60B80C28
2、00D4500二、多选题6已知二项式的展开式中所有项的系数和为，函数，且，则函数取最大值时的取值为（）ABCD7关于的二项展开式，下列结论正确的是（）A展开式中所有项的系数之和为256B展开式中含x的一次项为C展开式中有3项有理项D展开式中系数最大项为第3项和第4项8已知，则下列结论正确的是（）ABCD三、填空题9展开式的常数项为_10的展开式中的系数为_用数字填写答案11设，则_.四、解答题12已知，其中(1)若，求的值；(2)若，求的值13求下列各展开式中的指定项：(1)展开式中的第4项；(2)展开式中的第3项14已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等(1)求n的值；(2)求展开式中
3、有理项的系数之和（用数字作答）参考答案：1B【解析】【分析】由图形以及二项式系数和的有关性质可得.【详解】由图知，第10行的所有数字之和为，由二项式系数和的性质知，第10行排在偶数位置的所有数字之和为故选：B2C【解析】【分析】根据二项式定理，展开项系数中，当n为奇数时最中间的那一项最大.【详解】依题意，第五项二项式系数最大，一共是9项，所以n=8，二项式展开项的通项公式为： ， ， 的系数为 故选：C.3A【解析】【分析】首先写出的展开式的通项，再令和，分别求出，即可得到含的项的系数，从而得到方程，解得即可；【详解】解：因为，其中的展开式的通项公式为，令，解得，又令，解得.此时含的项的系数为
4、，解得.故选：A.4D【解析】【分析】将二项式变形为，利用二项式展开式，即可求得结果.【详解】由题意得：，所以，故选：D5B【解析】【分析】先分甲景区最后旅游和甲景区不最后旅游两种情况，计算出m，再按照二项展开式求项的系数.【详解】若甲景区最后旅游，则乙丙，丁三个景区任意排，故有种，若甲景区不最后旅游，则丙景区最后旅游，故有种，根据分类计数原理，共有种，二项式的展开式中的系数为，的系数为80.故选：B.6BC【解析】【分析】令，可得展开式中所有项的系数和，即可求出的值，从而可得出再利用二项式系数最值性即可求解.【详解】因为二项式的展开式中所有项的系数和为512，令，得所以，二项式展开式有10项
5、，则由二项式系数最值性可知第5项和第6项的二项式系数最大，所以当或5时，最大，故选：BC7BCD【解析】【分析】对于A：令，即可判断；对于B：写出通项公式，令即可判断；对于C：写出通项公式判断有理项即可；对于D：由，解出即可得到系数最大项.【详解】对于A：令，得所有项的系数之和为，故A错误；对于B：通项公式为，令，则含x的一次项为，故B正确；对于C：由知，当时为有理项，共3项，故C正确；对于D：由，解得，即系数最大项为第3项和第4项,故D正确.故选：BCD.8BC【解析】【分析】分别令，求出对应的A，B，C选项，然后再求出展开式中含的项即可求出，由此即可判断【详解】令，则，故A错误；令，则，故
6、B正确；令，则，可得：，故C正确；展开式中含的项为，故，所以D错误，故选：BC93【解析】【分析】用通项写出第r+1项，整理后令x的指数为0解出r，然后可得.【详解】，令，得，所以常数项为.故答案为：31020【解析】【分析】直接用二项式定理讨论即可.【详解】二项式中，当中取x时，这一项为，所以，当中取y时，这一项为，所以，所以展开式中的系数为故答案为：11496【解析】【分析】先把化成的形式，把看成整体，应用二项式定理即可求解.【详解】，故.故答案为：496.12(1)2(2)【解析】【分析】（1）结合二项式的展开式的通项公式得，令即可求出结果；（2）构造，分别求出和的值，进而可求出结果.(1)，令，得，(2)若，记，13(1)(2)【解析】【分析】直接利用二项展开式的通式求指定项即可.(1)展开式中的第4项为(2)展开式中的第3项14(1)8；(2).【解析】【分析】（1）由题设可得，进而写出第三、四项的系数，结合已知列方程求n值即可.（2）由（1）有，确定有理项的对应k值，进而求得对应项的系数，即可得结果.(1)由题意，二项式展开式的通项公式所以第三项系数为，第四项系数为，由，解得，即n的值为8(2)由（1）知：当，3，6时，对应的是有理项当时，展开式中对应的有理项为；当时，展开式中对应的有理项为；当时，展开式中对应的有理项为；故展开式中有理项的系数之和为
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