1、6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 教学设计本小节内容选自普通高中数学必修第一册人教A版（2019）第六章平面向量及其应用的第三节平面向量基本定理及坐标表示。以下是本节的课时安排：课时内容平面向量基本定理平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加减运算的坐标表示平面向量数乘运算的坐标表示平面向量数量积的坐标表示所在位置教材第25页教材第27页教材第29页教材第31页教材第34页新教材内容分析平面向量的基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础，同时平面向量的基本定理也为我们提供了一种重要的数学转化思想。平面向量基本定理是坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与坐标建立起了一
2、一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位。在教学中始终抓住向量具有几何与代数双重属性，进一步熟悉向量的坐标表示及运算法则、运算律；熟悉向量代数化的重要作用和在实际生活中的应用，加强方程思想和数学应用意识。前面已经找出两个向量共线的条件，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示。由于平面向量数量积涉及了向量的模向量的夹角，因此在实现向量的数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来。核心素养培养理解平面向量基本定理及其意义，了解向量
3、基底的含义，培养学生的数学抽象的核心素养；掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量，培养学生数学运算的核心素养。借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养。会用坐标表示平面向量的加、减运算，培养学生数学运算的核心素养。掌握两个向量数乘的坐标运算法则，培养学生数学运算的核心素养；能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，培养学生逻辑推理的核心素养。通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学运算的数学素养；能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直，培养学生数学运算、逻辑推理的数学素养。教学主线平面向量基本定理学生已经掌握了向量的概
4、念和简单的线性运算，并且上节课学习了平面向量的基本定理，学生对向量和数之间的关系已经有了一定的认识，已经能感觉到向量是可以用实数表示的，教师只需对学生进行适当的引导，让学生自己去发现最佳的表示方法，感受这个探究过程。1.借助平面直角坐标系，理解平面向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养；2.掌握平面向量的坐标表示,提升数学运算的核心素养。1.重点：掌握向量的坐标表示2.难点：了解平面向量的正交分解（一）新知导入【思考】如图,向量i,j是两个互相垂直的单位向量,向量a与i的夹角是30,且|a|=4,以向量i,j为基底,向量a如何表示?【提示】因为向量a与i的夹角是30,且|a|=4,所以OA=2
5、，OB=2，于是a=2i+2j.【设计意图】通过复习平面向量基本定理引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。（二）平面向量的正交分解及坐标表示【探究1】在平面中,垂直的两个非零向量a,b能否作为平面内所有向量的一组基底?提示能,平面内任何两个不共线的向量都可以作为一组基底.【探究2】在平面内,e1,e2是两个互相垂直的非零向量,这个平面内的任一向量是否都能用这两个向量来表示?表示是否唯一?提示由平面向量基本定理可知,平面内的任一向量都可以用e1,e2来表示,且表示方法是唯一的.【探究3】在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,任作一向量
6、 ,根据平面向量基本定理,=xi+yj,那么(x,y)与A点的坐标相同吗?如果向量也用(x,y)表示,那么这种向量与实数对(x,y)之间是否一一对应?提示相同，一一对应。1.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解axiyj,则a(x，y)2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a(x，y)就叫做向量的坐标表示显然
7、，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0).在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则(x，y)【想一想】点的坐标与向量坐标有何区别？【提示】(1)向量a(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y).【设计意图】通过探究让学生理解平面向量的正交分解与坐标表示，培养数学抽象的核心素养。（三）典型例题1.平面向量的正交分解及坐标表示例1.如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i、j作为基底，分别用i、j表
8、示、，并求出它们的坐标解析：（1）6i2j，2i4j，4i2j，它们的坐标表示为(6,2)，(2,4)，(4,2)【类题通法】求平面向量坐标的方法:(1)若i、j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量,则当a=xi+j时,向量a的坐标即为(x,y).(2)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标.(3)求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时,常常结合几何图形,进行计算.【巩固练习1】如图，分别用基底i，j表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标解析： 2.向量的坐标的应用例2.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，
9、的坐标解析 ：如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60，2sin 60)，C(1，)，D，(2,0)，(1，)【类题通法】求一个向量的坐标可利用已知条件,先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标,该坐标就等于相应点的坐标.【巩固练习2】已知O是坐标原点，点A在第一象限，|4，xOA60.求向量的坐标；解析：设点A(x，y)，则x4cos 602，y4sin 606，即A(2，6)，(2，6)（四）操作演练 素养提升1.已知i、j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为原点，设(x2x1)i(x2x1)j(其中xR)，则点A位于()A第一
10、、二象限B第二、三象限C第三象限D第四象限2.如图,在正方形ABCD中,O为中心,且 =(-1,-1),则 =_; =_; =_.3、已知A(2,0)，a(x3，x3y5)，若aO，其中O为原点，求x、y的值4、如果将绕原点O逆时针方向旋转120得到，则求的坐标。答案：1.D 2.(1,-1)(1,1)(-1,1) 3. x=-1,y=-2 4.【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（五）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。完成教材：
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