1、平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示同步练习一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，那么AB可以表示为()A. 2i+3jB. 4i+2jC. 2ijD. 2i+j2. 质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=(4,3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P的坐标为(10,10)，则5秒后点P的坐标为( )A. (2,4)B. (30,25)C. (10,5)D. (5,10)3. 如图，我们在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，
2、j作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|=2，=45，则向量a的坐标为 ( )A. (1,1)B. 22,22C. (2,2)D. (2i,2j)4. 若i，j分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量，取i,j作为基底，设a=(x2+x+1)i(x2x+1)j(其中xR)，则向量a的坐标对应的点位于 ( )A. 第一、二象限B. 第二、三象限C. 第三象限D. 第四象限二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）5. 在下列向量组中，不能把向量a=(3,7)表示出来的是( )A. e1=(0,1)，e2=(0,2)B. e1=(1,5)，e2=(2,10)C. e1=(5,3)，e2=(2,1)
3、D. e1=(7,8)，e2=(7,8)6. 已知平行四边形的三个顶点3,0，2,2，5,2，则第四个顶点的坐标可能是( )A. 10,0B. 0,4C. 6,4D. 6,17. 已知向量a=(1,2)，b=(1,2)，则下列结论正确的是( )A. a/bB. a与b可以作为一组基底C. a+b=0D. ba与a方向相反8. 在下列向量组中，可以把向量a=(3,2)表示出来的是( )A. e1=(0,0),e2=(1,2)B. e1=(1,2),e2=(5,2)C. e1=(3,5),e2=(6,10)D. e1=(2,3),e2=(2,3)三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）9. 已知
4、向量a=(2m,m)，b=(n,2n)，若，则mn的值为_10. 已知向量AB=(3,1)，向量AC=(1,4)，则与向量BC方向相同的单位向量的坐标为11. 已知A(2,0)，a=(x+3,x3y5)，若a=OA，其中O为原点，则x=，y=五、解答题（本大题共1小题，共12.0分）12. 已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，AB=2e1+e2，BE=e1+e2，EC=2e1+e2，且A，E，C三点共线(1)求实数的值；(2)已知D(3,5)，BC=(-7,-2)，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量的直角
5、坐标表示和向量运算，属于基础题记O为坐标原点，则OA=2i+3j，OB=4i+2j，即可得结果【解答】解：记O为坐标原点，则OA=2i+3j，OB=4i+2j，所以AB=OBOA=2ij故选C2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题根据向量的坐标运算，向量相等列方程组求解即可【解答】解：设(10,10)为P，5秒后P点的坐标为P1(x,y)，则PP1=(x+10,y10)，由题意有PP1=5v，即(x+10,y10)=(20,15)，x+10=20,y10=15,x=10,y=5.5秒后点P的坐标为(10,5)故选C3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了
6、平面向量的坐标求解，涉及三角函数的概念，属于基础题结合三角函数的概念分别求出向量的纵横坐标即可【解答】解：设向量a=(x,y)，a方向相对于x轴正方向的旋转角为，由三角函数的定义，可知x=|a|cos=222=2，y=|a|sin=222=2，即向量a=2,2，故选C4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了向量的概念及几何表示，考查了点在象限的特点，属于基础题由x2+x+1=(x+12)2+340,x2x+1=(x12)2+340，恒成立，故问题得以解决【解答】解：向量a的坐标为(x2+x+1,x2+x1)，x2+x+1=x+122+340，x2+x1=x122340，向量a的坐标对应的点位于
7、第四象限5.【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查了向量的坐标运算，属于中档题令a=e1+e2，对各选项计算判断即可【解答】解：令a=e1+e2，选项A：(0,1)+(0,2)=(0,2)(3,7)，故选项A不能；选项B：(1,5)+(2,10)=(2,510)，令3=2，7=510，无解，故选项B不能；选项C：(5,3)+(2,1)=(52,3+)，令3=52，7=3+，解得=11,=26，故选项C能；选项D：(7,8)+(7,8)=(77,88)，令3=77，7=88，无解，故选项D不能，故选ABD6.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论
8、思想，属于中档题设三个顶点A3,0，B2,2，C5,2，设第四个顶点为Dx,y，分类讨论点D在平行四边形的位置有以下几种情况：AD=BC，AD=CB，AB=CD，将向量用坐标表示，即可求解【解答】解：设三个顶点A3,0，B2,2，C5,2，设第四个顶点为Dx,y，当AD=BC时，x+3,y=3,4，解得x=0,y=4，此时第四个顶点的坐标为0,4；当AD=CB时，x+3,y=3,4，解得x=6,y=4，此时第四个顶点的坐标为6,4；当AB=CD时，5,2=x5,y2，解得x=10,y=0，此时第四个顶点的坐标为10,0第四个顶点的坐标为0,4或6,4或10,0故选：ABC7.【答案】ACD【解
9、析】【分析】本题考查了平面向量的坐标运算，向量平行的判定及向量共线等，属于基础题分别根据向量平行的判定、向量的坐标运算及向量的共线定理，逐项分析，即可得出结论【解答】解：由向量a=(1,2)，b=(1,2)，知12(2)(1)=0，所以a/b，故A正确，B错误；又a+b=(11,2+2)=(0,0)，所以C正确；又ba=(2,4)，所以ba=2a，ba与a方向相反，故D正确故选ACD8.【答案】BD【解析】【分析】本题主要考查了向量的坐标运算根据a=e1+e2列出方程解方程是关键，属于基础题根据向量的坐标运算及a=e1+e2，计算判断即可【解答】解：根据a=e1+e2，选项A：(3,2)=(0
10、,0)+(1,2)，则3=，2=2，无解，故选项A不能；选项B：(3,2)=(1,2)+(5,2)，则3=+5，2=22，解得，=2，=1，故选项B能；选项C：(3,2)=(3,5)+(6,10)，则3=3+6，2=5+10，无解，故选项C不能；选项D：(3,2)=(2,3)+(2,3)，则3=2+2，2=3+3，解得，=512，=1312，故选项D能故选BD9.【答案】3【解析】【分析】本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力直接利用向量的坐标运算，求解即可【解答】解：a+b=(2m+n,m2n)=(9,8)，2m+n=9,m2n=8,m=2,n=5,mn=25=3故答案为3
11、10.【答案】(45,35)【解析】【分析】根据题意，求出向量BC，再根据与向量BC方向相同的单位向量为BC|BC|=(45,35)，求出答案本题考查向量的运算和单位向量问题，考查运算能力，基础题【解答】解：已知向量AB=(3,1)，向量AC=(1,4)，则BC=ACAB=(4,3)，所以与向量BC方向相同的单位向量为BC|BC|=15(4,3)=(45,35)，故答案为：(45,35)11.【答案】12【解析】【分析】本题主要考查平面向量相等的坐标运算，属于基础题由a=OA可得x+3=2x3y5=0，可求得x，y的值【解答】解：由题意知x+3=2,x3y5=0,解得x=1,y=2.故答案为1
12、；212.【答案】【解析】解：(1)AE=AB+BE=(2e1+e2)+(e1+e2)=e1+(1+)e2A，E，C三点共线，存在实数k，使得AE=kEC，即e1+(1+)e2=k(2e1+e2)，得(1+2k)e1=(k1)e2e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，1+2k=0=k1，解得k=12，=32(2)A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，AD=BC设A(x,y)，则AD=(3x,5y)，BC=(7,2)，3x=75y=2，解得x=10y=7，即点A的坐标为(10,7)【解析】【分析】本题考查平面向量的坐标运算，以及平面向量共线的充要条件(1)根据平面向量的加法运算法则和向量共线的性质即可得解；(2)根据平面向量的坐标运算法则和向量相等求解即可
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