（全国版）2022高考数学一轮复习 第8章 立体几何 第5讲 空间角与距离、空间向量及应用试题1（理含解析）.docx

1、第八章立体几何第五讲空间角与距离、空间向量及应用练好题考点自测1.2020安徽省阜阳市模拟在空间直角坐标系中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,zR),若A,B,C,D四点共面,则()A.2x+y+z=1B.x+y+z=0C.x-y+z=-4D.x+y-z=02.广东高考,5分理已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60夹角的是()A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)3.下列说法正确的是()A.直线的方向向量是唯一确定的B.若直线a的方向向量和平面的法向量平行,则aC.若两平面的法向量平行

2、,则两平面平行D.若直线a的方向向量与平面的法向量垂直,则a4.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC的一个法向量的是()A.(-1,1,1)B.(1,-1,1)C.(-33,-33,-33)D.(33,33,-33)5.2020四川五校联考已知四面体ABCD中,平面ABD平面BCD,ABD是边长为2的等边三角形,BD=DC,BDCD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为()A.24B.23C.12D.346.2019全国卷,16,5分已知ACB=90,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到ACB两边AC,BC的距离均为3,那么P到平面ABC的距离为.

3、7.2020天津,17,15分如图8-5-1,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,ACBC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点.图8-5-1()求证:C1MB1D.()求二面角B-B1E-D的正弦值.()求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值.拓展变式1.2020山东,20,12分如图8-5-10,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD底面ABCD.设平面PAD与平图8-5-10面PBC的交线为l.(1)证明:l平面PDC.(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.2.

4、2020全国卷,19,12分理如图8-5-14,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.(1)证明:点C1在平面AEF内.(2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A-EF-A1的正弦值.3.2021山东新高考模拟如图8-5-23,将长方形OAA1O1(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,其中OA=1,OO1=2,A1B1的长为6,AB为O的直径.(1)在AB上是否存在点C(C,B1在平面OAA1O1的同侧),使得BCAB1,若存在,请确定其位置;若不存在,请说明理由.(2)求二面角A1-O1B-B1的余弦值.图8-5-2

5、34.2021河北省六校第一次联考如图8-5-27(1),在RtABC中,B为直角,AB=BC=6,EFBC,AE=2,沿EF将AEF折起,使AEB=3,得到如图8-5-27(2)所示的几何体,点D在线段AC上.图8-5-27(1)求证:平面AEF平面ABC.(2)若AE平面BDF,求直线AF与平面BDF所成角的正弦值.答 案第五讲空间角与距离、空间向量及应用1.A由题意可得AB=(0,1,-1),AC=(-2,2,2),AD=(x-1,y-1,z+2).A,B,C,D四点共面,存在实数,使得AD=AB+AC,即(x-1,y-1,z+2)=(0,1,-1)+(-2,2,2),x-1=-2,y-

6、1=+2,z+2=-+2,解得2x+y+z=1,故选A.2.B设选项中的向量与a的夹角为,对于选项A,由于cos =1(-1)+01+(-1)012+02+(-1)2(-1)2+12+02=-12,此时夹角为120,不满足题意;同理可知选项C,D不满足题意;对于选项B,由于cos =11+0(-1)+(-1)012+02+(-1)212+(-1)2+02=12,此时夹角为60,满足题意.故选B.3.CA中,直线的方向向量不是唯一的,有无数多个,故A错误;B中,由条件得a,故B错误;D中,由条件得,a或a,故D错误.易知C正确,选C.4.C由题意,得AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1)

7、,设n=(x,y,z)为平面ABC的法向量,则nAB=0,nAC=0,即-x+y=0,-x+z=0,可得x=y=z.故选C.5.A由题意知CD平面ABD.以D为坐标原点,DC所在直线为x轴,DB所在直线为y轴建立如图D 8-5-1所示的空间直角坐标系,则A(0,1,3),C(2,0,0),B(0,2,0),D(0,0,0),AC=(2,-1,-3),BD=(0,-2,0),设异面直线AC与BD所成的角为,则cos =|ACBD|AC|BD|=24,所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为24,故选A.图D 8-5-16.2如图D 8-5-2,过点P分别作PEBC交BC于点E,作PFAC交AC于点

8、F.由题意知PE=PF=3.过P作PH平面ABC于点H,连接HE,HF,HC,易知HE=HF,则易得点H在ACB的平分线上,又ACB=90,故CEH为等腰直角三角形.在RtPCE中,PC=2,PE=3,则CE=1,故CH=2,在RtPCH中,可得PH=2,即点P到平面ABC的距离为2.图D 8-5-27.依题意,以C为原点,分别以CA,CB,CC1的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图D 8-5-3),可得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3),A1(2,0,3),B1(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3).()

9、依题意,C1M=(1,1,0),B1D=(2,-2,-2),从而C1MB1D=2-2+0=0,所以C1MB1D.()依题意,CA=(2,0,0)是平面BB1E的一个法向量,EB1=(0,2,1),ED=(2,0,-1).设n=(x,y,z)为平面DB1E的法向量,则nEB1=0,nED=0,即2y+z=0,2x-z=0.不妨设x=1,可得n=(1,-1,2).因此有cos􀎮CA,n􀎯=CAn|CA|n|=66,于是sin􀎮CA,n􀎯=306.所以二面角B-B1E-D的正弦值为306.()依题意,AB=(-2,2,0).由(

10、)知n=(1,-1,2)为平面DB1E的一个法向量,于是cos􀎮AB,n􀎯=ABn|AB|n|=-33.所以,直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为33.1.(1)因为PD底面ABCD,所以PDAD.又底面ABCD为正方形,所以ADDC.又PDDC=D,因此AD平面PDC.因为ADBC,AD平面PBC,所以AD平面PBC.由已知得lAD.因此l平面PDC.(2)以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图D 8-5-4所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),DC=(0,1,0),PB=(1

11、,1,-1).图D 8-5-4由(1)可设Q(a,0,1),则DQ=(a,0,1).设n=(x,y,z)是平面QCD的法向量,则nDQ=0,nDC=0,即ax+z=0,y=0.可取n=(-1,0,a).所以cos=nPB|n|PB|=-1-a31+a2.设PB与平面QCD所成角为,则sin =33|a+1|1+a2=331+2aa2+1.因为331+2aa2+163,当且仅当a=1时等号成立,所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63.2.如图D 8-5-5,以C1为坐标原点,C1D1的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系C1-xyz.(1)设AB=a,AD=b,AA1=c,连接C1F,

12、则C1(0,0,0),A(a,b,c),E(a,0,23c),F(0,b,13c),EA=(0,b,13c),C1F=(0,b,13c),得EA=C1F,因此EAC1F,即A,E,F,C1四点共面,所以点C1在平面AEF内.(2)由已知得A(2,1,3),E(2,0,2),F(0,1,1),A1(2,1,0),AE=(0,-1,-1),AF=(-2,0,-2),A1E=(0,-1,2),A1F=(-2,0,1).设n1=(x1,y1,z1)为平面AEF的法向量,则n1AE=0,n1AF=0,即-y1-z1=0,-2x1-2z1=0,可取n1=(-1,-1,1).设n2=(x2,y2,z2)为平

13、面A1EF的法向量,则n2A1E=0,n2A1F=0,即-y2+2z2=0,-2x2+z2=0,可取n2=(12,2,1).因为cos=n1n2|n1|n2|=-77,所以二面角A-EF-A1的正弦值为427.3.(1)存在符合题意的点C,当B1C为圆柱OO1的母线时,BCAB1.下面给予证明:在AB上取点C,使B1C为圆柱的母线,则B1CBC,如图D 8-5-6,连接BC,AC,因为AB为O的直径,所以BCAC,又B1CAC=C,所以BC平面AB1C.因为AB1平面AB1C,所以BCAB1.(2)取AB的中点D(D,B1在平面OAA1O1的同侧),连接OD,OC,由题意可知,OD,OA,OO

14、1两两垂直,故以O为坐标原点,以OD,OA,OO1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图D 8-5-6所示的空间直角坐标系O-xyz,图D 8-5-6因为A1B1的长为6,所以AOC=A1O1B1=6,则O1(0,0,2),B(0,-1,0),B1(12,32,2),D(1,0,0),所以O1B=(0,-1,-2),O1B1=(12,32,0).设平面O1BB1的法向量为n=(x,y,z),则nO1B=0,nO1B1=0,即-y-2z=0,12x+32y=0.令z=1,得n=(23,-2,1).易知OD=(1,0,0)为平面O1A1B的一个法向量.设二面角A1-O1B-B1的大小为,由图D 8

15、-5-6可知为锐角,则cos =|nOD|n|OD|=2317=25117.所以二面角A1-O1B-B1的余弦值为25117.4.(1)在ABE中,AE=2,BE=4,AEB=3,由余弦定理得AB2=AE2+BE2-2AEBEcosAEB=4+16-22412=12,AB=23,EB2=EA2+AB2,EAB=2,即EAAB.易知EFEB,EFEA,EAEB=E,EF平面ABE,又AB平面ABE,EFAB.又EAEF=E,EA,EF平面AEF,AB平面AEF,又AB平面ABC,平面AEF平面ABC.(2)如图D 8-5-7,以A为原点,AB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,过点A垂直于平面A

16、BE的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(23,0,0),E(0,2,0),F(0,2,2),C(23,0,6),图D 8-5-7AF=(0,2,2),FB=(23,-2,-2),AC=(23,0,6).连接EC,与FB交于点G,连接DG,AE平面BDF,DG为平面AEC与平面BDF的交线,AEGD,GCGE=DCDA,在四边形BCFE中,EFBC,EFGCBG,GCGE=BCEF=3,DCDA=3,AD=14AC.设D(x0,y0,z0),则AD=(x0,y0,z0),由AD=14AC,得x0=32,y0=0,z0=32,D(32,0,32),FD=(32,-2,-12).设平面BDF的法向量为n=(x,y,z),则nFD=32x-2y-12z=0,nFB=23x-2y-2z=0,取x=1,则z=3,y=0,n=(1,0,3)为平面BDF的一个法向量.设直线AF与平面BDF所成的角为,则sin =|AFn|AF|n|=2342=64,即直线AF与平面BDF所成角的正弦值为64.