1、河北省张家口市2020届第二学期高三年级第二次模拟考试文科数学一选择题1.已知复数满足(其中是虚数单位)，则复数的模（ ）A. 2B. C. D. 5【答案】B【解析】【分析】先根据复数的四则运算将复数表示为的形式，结合复数的模的计算公式即可求解.详解】由可得，所以.故选：B【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数的模的计算，属于基础题.2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式得到，再计算交集得到答案.【详解】，则.故选：C.【点睛】本题考查了解不等式，集合的交集，属于简单题.3.已知变量满足，则的最大值为（ ）A. 4B. 7C. 10D. 12【答案
2、】C【解析】【详解】先作可行域，则直线过点A(4,2)时取最大值10，选C.4.已知正项等比数列的公比为q，若，且，则（ ）A. 19B. 45C. 55D. 100【答案】C【解析】分析】由等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，得到，进而得到，即可求解.【详解】由题意，正项等比数列的公比为q，且，可得，因为，即，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等差数列的前项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.5.（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数的关系可得，进一
3、步通分化简得到原式为，再由余弦的二倍角公式结合诱导公式和特殊角的三角函数值可得到答案.【详解】故选：D【点睛】本题考查同角三角函数的关系，诱导公式，二倍角公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题6.孪生素数猜想是希尔伯特在年提出的个数学问题之一，年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数，使得是素数素数对称为孪生素数对.若从素数均小于的孪生素数对中随机抽取一组，则孪生素数对中孪生素数的乘积超过的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】列举出素数均小于的孪生素数对，确定这些数对中乘积
4、超过的孪生素数对，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】素数均小于的孪生素数对有：、，共个，在这些数对中，乘积超过的孪生素数对有：、，共个，因此，所求事件的概率为.故选：A.【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，一般要将基本事件列举出来，考查计算能力，属于基础题.7.要得到函数的图象，可将函数的图象（ ）A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】先将函数化为，再根据左加右减得到答案.【详解】由所以将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.故选：B【点睛】本题考查诱导公式以及图象的
5、变换，把两个函数化为同名函数是解题的关键；函数图像平移满足左加右减的原则,属于中档题.8.已知直线与椭圆：交于两点，点，分别是椭圆的右焦点和右顶点，若，则（ ）A. 4B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】设椭圆的另一焦点为，根据椭圆对称性可得四边形为平行四边形，得到，从而有，得到关系，利用，即可求出结论.【详解】设椭圆的另一焦点为，连，直线过原点，所以坐标原点为中点，互相平分，所以四边形为平行四边形，.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及简单几何性质，注意椭圆定义在解题中的应用，属于基础题.9.已知方程的两根分别为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根
6、据与的图象，初步判断的范围，再根据对数运算即可得出答案.【详解】不妨设，作出与的图象，如图. 由图可知，则，那么，则.故选：D.【点睛】本题考查指数函数和对数函数的图像，涉及指数函数单调性，对数函数单调性，属于中档题.10.如图所示，四边形是正方形，其内部8个圆的半径相等，且圆心都在正方形的对角线上，在正方形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设正方形的边长为1，圆的半径为r，根据圆心都在正方形的对角线上，建立边长与半径的关系，求得半径，进而求得8个圆的面积，再代入几何概型的概率公式求解.【详解】设正方形的边长为1，圆的半径为r，因为圆
7、心都在正方形的对角线上，如图所示：，即，解得，所以阴影部分的面积为：，所以该点取自阴影部分的概率为.故选：A【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.11.已知双曲线:的左、右焦点分别为，渐近线分别为，过作与平行的直线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】不妨设，则，联立直线与，得到点的坐标，由，得到，再根据两点间的距离公式可得，从而可得离心率.【详解】不妨设，则，因为，联立，解得，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以离心率.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的焦点、渐近线、离心率，
8、考查了平面向量的加、减法运算，属于中档题.12.已知三棱柱的侧棱和底面垂直，且所有顶点都在球O的表面上，侧面的面积为.给出下列四个结论：若的中点为E，则平面；若三棱柱体积为，则到平面的距离为3；若，则球O的表面积为；若，则球O体积的最小值为.当则所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】,证明，平面即得证，所以该命题正确；，求出到平面的距离为2，所以该命题错误；，求出，即可判断该命题正确；，求出外接球的半径的最小值为2，即得球O体积的最小值为，所以该命题正确.【详解】，如图，连接,交于点,连接.因为，所以,因为平面，平面，所以平面，所以该命题正确；，连接,过作
9、,垂足为,因为平面平面，平面平面，所以平面，所以到平面的距离就是.由题得,所以，所以到平面的距离为2.所以该命题不正确；，如图，取中点，连接,则的中点就是三棱柱的外接球的球心,连接.设，球的半径为,则所以.由题得，所以.所以，所以球O的表面积为,所以该命题正确；，设，球的半径为,设上底面和下底面的中心分别为,连接,则其中点为,连接.由题得所以,即，又，所以，所以，（当且仅当时取等），所以最小值为2，所以球O体积的最小值为，所以该命题正确.故选：D.【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查几何体体积的计算和点到平面距离的计算，考查几何体外接球问题的解法，考查基本不等式求最值，意在考查
10、学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.二填空题13.已知向量，且，则_.【答案】1【解析】【分析】由可知，结合向量的坐标可列出关于的方程，进而可求出的值.【详解】解：因为，所以，即 ，则，解得.故答案为:1.【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标表示，属于基础题.14.某班一学习小组8位学生参加劳动技能比赛所得成绩的茎叶图如图所示，那么这8位学生成绩的平均分与中位数的差为_.【答案】2【解析】【分析】根据茎叶图可得到中位数为82 ，再求出平均数，可得到答案.【详解】根据茎叶图可得中位数为82.平均数为所以这8位学生成绩的平均分与中位数的差为84-82=2故答案为：2【点睛】本题考查
11、根据茎叶图求中位数和平均数，属于基础题.15.已知在中，角，的对边分别是，.若，则_.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理和余弦定理可得从而得到的关系，再利用余弦定理求得的值，即可得到答案；【详解】根据正弦定理和余弦定理可得：，故答案为：.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意消元代入法的运用.16.若函数在区间上恰好有一个零点，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据题意可转化为函数和函数的图象在区间上恰好有一个交点，根据函数单调性及图象可求a的范围，利用在上单调递增即可求解.【详解】依题意，函数在区间，上有零点等
12、价于方程在区间，上恰有一个根，函数和函数的图象在区间上恰好有一个交点，函数关于对称，在上有最小值，时，函数，令，当时，由复合函数单调性知单调递减，当时，所以函数和函数的图象在区间上无交点，当时，由复合函数单调性知单调递增，如图，由图可知，当，时，函数图象恰好有1个交点，此时，解得，因为在上单调递增，所以，即的最小值为，故答案为：【点睛】本题主要考查函数零点，函数图象的交点，函数的单调性，转化思想，分类讨论，利用函数单调性求最值，属于难题三解答题.17.已知等差数列的各项均为正数，且.（1）求数列的通项公式.（2）求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1) 设公差为d，由已
13、知可得，结合通项公式可知，解出首项和公差即可求出通项公式.(2)由(1)知，结合等比数列的求和公式即可求出.【详解】（1）是等差数列，设其公差为d ，因为，所以， 所以， 解得或(舍). 所以.即的通项公式为. （2）由（1）知，即，所以. 所以.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的求和公式.本题的关键是求出等差数列的首项和公差.18.大学生是国家的未来，代表着国家可持续发展的实力，能够促进国家综合实力的提高.据统计，2016年至2020年我国高校毕业生人数y(单位：万人)的数据如下表：年份20162017201820192020年份代号x1617181920高校毕业生人数y
14、(单位：万人)765795820834874（1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性的强弱.(已知：，则认为y与x线性相关性很强；，则认为y与x线性相关性一般；，则认为y与x线性相关性较弱)（2）求y关于x的线性回归方程，并预测2022年我国高校毕业生的人数(结果取整数).参考公式和数据：，.【答案】（1），与线性相关性很强；（2），万.【解析】【分析】(1)分别求出,的值，代入公式即可计算出r的值，然后与0.75,0.3比较即可判断y与x的线性相关性的强弱；(2)分别求出，的值即可求出线性回归方程，将代入方程计算出即可预测2022年我国高校毕业生的人数.【详解】（
15、1）由题得,. 所以.所以，因为，所以y与x线性相关性很强. （2）. ，所以y关于x的线性回归方程是.当时，, 即预测2022年我国高校毕业生的人数约为920万.【点睛】本题主要考查相关系数的计算及利用相关系数判断相关性的强弱、线性回归方程的计算与应用，属于基础题.19.已知四边形是梯形(如图1)，E为的中点，以为折痕把折起，使点D到达点P的位置(如图2)，且.（1）求证：平面平面；（2）求点C到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点M，连接，根据，易得，再利用平面几何知识，由，得到，利用线面垂直的判定定理得到平面，进而由面面垂直的判定定理得证. （2）
16、由（1）知，平面，为正三角形且边长为1， 设点C到平面的距离为d，由等体积法求解.【详解】（1）证明：连接，因为，E为的中点，所以四边形是边长为1的正方形，且.如图，取的中点M，连接，因为，所以，且，. 因为，所以.所以因为，所以，所以. 因为，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）由（1）知，平面，且. 因，所以为正三角形且边长为1. 设点C到平面的距离为d，则，所以， 即，解得. 所以点C到平面的距离为.【点睛】本题主要考查线面垂直，面面垂直，线线垂直的转化以及等体积法求点到平面的距离问题，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.20.已知抛物线：的焦点为，直线
17、：与抛物线交于，两点.（1）若，求直线的方程；（2）过点作直线交抛物线于，两点，若线段，的中点分别为，直线与轴的交点为，求点到直线与距离和的最大值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）直线方程和抛物线方程联立，可得由利用韦达定理求得即可得出结果.（2）由（1）中韦达定理可求得点坐标为，直线，且均过焦点为，可求，进而求得直线的方程，得到的坐标为（3，0），设点到直线和的距离分别为，由利用基本不等式性质，即可求得结果.【详解】解：（1）由已知得，直线:与联立消，得.设，则，.由，得，即，得，所以或.所以直线的方程为或（2）由（1）知，所以，所以.因为直线过点且，所以用替换得.当时，:，整理
18、化简得，所以当时，直线过定点（3，0）；当时，直线的方程为，过点（3，0）.所以点的坐标为（3，0）设点到直线和的距离分别为，由，得.因为，所以，当且仅当时，等号成立,所以点到直线和的距离和的最大值为.【点睛】本题考查韦达定理在直线和抛物线的位置关系中的应用，考查在求最值中的应用，属于难题.21.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若，时，恒成立，求m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)求出，求出切点处的导数值，即为切线的斜率，求出，由直线的点斜式方程可求出切线的方程.(2)分为和两种情况进行讨论，运用导数求出当，三种情况下的的最值，从而可求出参数的取值范围.【
19、详解】（1）由，得，所以，.所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）当时，则时，恒成立.当时， 当时，恒成立； 当，时，恒成立等价于.令，则， 设，则，所以在上递增，所以的值域为， 当，即时，为上的增函数，所以，符合条件； 当，即时，为上的减函数，所以当时，不符合条件，舍去； 当，即时，存在，使，且时，此时，不符合条件，舍去综上，所求的m的取值范围为.【点睛】本题考查了函数图象上某点处切线方程的求解，考查了应用导数求解不等式恒成立问题.本题的难点在于第二问中构造并求新函数的最值.22.在直角坐标系中，直线参数方程是（为参数）以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线:，点的极坐标为，圆
20、的圆心在极轴上，且过，两点.（1）求圆的极坐标方程；（2）若直线与曲线，分别交于异于原点的点，求线段的中点的直角坐标方程.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）设圆的直径长为，根据题意得到，解得答案.（2）设，则，化简得到答案.【详解】（1）设圆的直径长为，因为点的极坐标为，的圆心在极轴上，且过，两点，所以，解得，所以圆的极坐标方程为.（2）由已知得直线的极坐标方程为，设，则，因为，所以点的极坐标方程为.因为，所以，即.即线段的中点的直角坐标方程为.【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.23.已知，均为正实数，且，证明：（1）（2）.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）首先根据题意得到，均为正数，将左边式子转换为，再展开式子利用基本不等式即可证明。（2）首先利用三元基本不等式得到，从而得到，再利用三元基本不等式即可证明。【详解】（1）因为，均为正实数，且，所以，均为正数.所以.所以，当且仅当时，等号成立.（2）因为，均为正实数，且，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立.因为.所以.当且仅当时，等号成立.【点睛】本题主要考查不等式的证明，利用基本不等式和三元基本不等式为解决本题的关键，属于中档题。