1、第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2 三角恒等变换8.2.2 两角和与差的正弦、正切第1课时 两角和与差的正弦栏目导航栏目导航2 学 习 目 标核 心 素 养 1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式(难点)2.能利用公式解决简单的化简求值问题(重点)1.通过两角和与差的正弦公式及辅助角公式的推导，培养学生的逻辑推理核心素养2.借助两角和与差的正弦公式、辅助角公式的应用，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.栏目导航栏目导航3 自 主 预 习 探 新 知 栏目导航栏目导航4 1.两角和与差的正弦公式(1)S：sin().(2)S：sin().sin
2、cos cos sin sin cos cos sin 栏目导航栏目导航5 2.辅助角公式f(x)asin xbcos x sin(x)(a，b 不同时为 0)，其中 cos ，sin .ba2b2a2b2aa2b2栏目导航栏目导航6 思考：根据公式 C()的识记规律，你能总结出公式 S()的记忆规律吗？提示 对比公式 C()的识记规律“余余正正，加减相反”可得公式 S()的记忆规律：“正余余正，加减相同”栏目导航栏目导航7 1.cos 17sin 13sin 17cos 13的值为()A12 B 22C 32D以上都不对A 原式sin(1317)sin 3012.栏目导航栏目导航8 2.函数
3、 ysin xcos x 的最小正周期是()A2BC2D4C ysin xcos x 222 sin x 22 cos x 2sinx4，函数的最小正周期为 T2.栏目导航栏目导航9 3.已知 为锐角，sin 35，是第四象限角，cos()45，则 sin()_.栏目导航栏目导航10 0 为锐角，且 sin 35，cos 45.又 为第四象限角，且 cos()cos 45，cos 45，sin 35.sin()35454535 0.栏目导航栏目导航11 合 作 探 究 提 素 养 栏目导航栏目导航12 利用公式化简求值【例 1】(1)sin 47sin 17cos 30cos 17()A 32
4、 B12 C12 D 32(2)求 sin 157cos 67cos 23sin 67的值(3)求 sin(75)cos(45)3cos(15)的值栏目导航栏目导航13 思路探究(1)化简求值应注意公式的逆用(2)(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值栏目导航栏目导航14(1)C sin 47sin 17cos 30cos 17 sin1730sin 17cos 30cos 17 sin 17cos 30cos 17sin 30sin 17cos 30cos 17 cos 17sin 30cos 17sin 3012.栏目导航栏目导航15(2)解 原式sin(18023)
5、cos 67cos 23sin 67 sin 23cos 67cos 23sin 67sin(2367)sin 901.(3)解 sin(75)cos(45)3cos(15)sin(1560)cos(1530)3cos(15)sin(15)cos 60cos(15)sin 60cos(15)cos 30sin(15)sin 30 3cos(15)12sin(15)32 cos(15)32 cos(15)12sin(15)3cos(15)0.栏目导航栏目导航16 1.对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)
6、化为正负相消的项，消去，求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值2.在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换栏目导航栏目导航17 1.化简下列各式：(1)sinx3 2sinx3 3cos23 x；(2)sin2sin 2cos()栏目导航栏目导航18 解(1)原式sin xcos 3cos xsin 32sin xcos 32cos xsin 3 3cos 23 cos x 3sin 23 sin x12sin x 32 cos xsin x 3cos x32 cos x32sin x1
7、2132 sin x32 3 32 cos x0.栏目导航栏目导航19(2)原式sin2cossin sin sincos cossin sin sinsin sin sin.栏目导航栏目导航20 给值(式)求值【例 2】设 2，32，2，若 cos 12，sin 32，求 sin()的值思路探究 应用公式注意角的范围求出所给角的正弦值栏目导航栏目导航21 解 因为 2，cos 12，所以 sin 32，因为 32，2，sin 32，所以 cos 12.所以 sin()sin cos cos sin 32 1212 32 32.栏目导航栏目导航22 1.(变结论)若条件不变，试求 sin()c
8、os()的值解 sin()cos()sin cos cos sin cos cos sin sin 32 1212 32 12 12 32 32 34 34 14341.栏目导航栏目导航23 2.(变条件)若将角 的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果如何？解 因为 2，cos 12，所以 sin 32.因为 为第三象限，所以 cos 12.所以 sin()sin cos cos sin 32 12 12 32 34 34 0.栏目导航栏目导航24 1.当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知
9、角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”3.角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值栏目导航栏目导航25 辅助角公式的应用探究问题1.函数 f(x)sin xcos x(xZ)的最大值为 2 对吗？为什么？提示 不对因为 sin xcos x 222 sin x 22 cos x 2sin xcos 4cos xsin 4 2sinx4，所以函数的最大值为 2.栏目导航栏目导航26 2.函数 f(x)3sin x4cos x 的最大值等于多少？提示 因为 f(x)3sin x4cos x 5
10、35sin x45cos x，令 cos 35，sin 45，则 f(x)5(sin xcos cos xsin)5sin(x)，所以函数的最大值为 5.栏目导航栏目导航27 3.如何推导 asin xbcos x a2b2sin(x)tan ba 公式？提示 asin xbcos x a2b2aa2b2sin xba2b2cos x，令 cos aa2b2，sin ba2b2，则 asin xbcos x a2b2(sin xcos cos xsin)栏目导航栏目导航28 a2b2sin(x)(其中 角所在象限由 a，b 的符号确定，角的值由 tan ba确定，或由 sin ba2b2和 c
11、os aa2b2共同确定)栏目导航栏目导航29【例 3】设函数 f(x)sin xsinx3.(1)求 f(x)的最小值，并求使 f(x)取得最小值的 x 的集合；(2)不画图，说明函数 yf(x)的图像可由 ysin x 的图像经过怎样的变化得到思路探究 辅助角公式转化成“一角一函数”的形式将所给函数展开与合并栏目导航栏目导航30 解(1)f(x)sin xsin xcos 3cos xsin 3sin x12sin x 32 cos x32sin x 32 cos x 3sin xcos 6cos xsin 6 3sin x6，当 sin x6 1 时，f(x)min 3，栏目导航栏目导航
12、31 此时 x632 2k(kZ)，所以 x43 2k(kZ)所以 f(x)的最小值为 3，x 的集合为 xx43 2k，kZ.栏目导航栏目导航32(2)将 ysin x 的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得 y 3sin x 的图像；然后将 y 3sin x 的图像上所有的点向左平移6个单位长度，得f(x)3sinx6 的图像.栏目导航栏目导航33(变结论)例题中的条件不变，试求函数 f(x)的单调区间？解 由本例解析知函数可化为 f(x)3sinx6，当 2k2x62k2(kZ)，即 2k23 x2k3(kZ)时，函数为增函数；栏目导航栏目导航34 当2k2x62k32，即
13、2k3x2k43(kZ)时，函数为减函数 所以函数f(x)的单调增区间为2k23，2k3(kZ)，函数f(x)的单调减区间为2k3，2k43(kZ)栏目导航栏目导航35 1.把所给函数展开，合并化简，然后利用辅助角公式化成 yAsin(x)的形式求解2.函数图像可通过 ysin xysinx6 y3sinx6 的顺序得到栏目导航栏目导航36 1.两角和与差的正弦公式的结构特点(1)公式中的，均为任意角(2)两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例栏目导航栏目导航37 2.两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系3.使用和差公式时不仅要会正用，还要能
14、够逆用公式.栏目导航栏目导航38 当 堂 达 标 固 双 基 栏目导航栏目导航39 1.若 cos 45，是第三象限的角，则 sin4()A7 210 B7 210C 210D 210栏目导航栏目导航40 A cos 45，为第三象限角，sin 35，由两角和的正弦公式得 sin 4 sin cos 4cos sin 4 35 22 45 22 7 210.栏目导航栏目导航41 2.函数 f(x)sin xcosx6 的值域为()A2,2B 3，3C1,1D 32，32B f(x)sin xcosx6 sin x 32 cos x 12sin x32sin x 32 cos x 3sinx6，
15、所以函数 f(x)的值域为 3，3故选 B栏目导航栏目导航42 3.sin 155cos 35cos 25cos 235_.32 原式sin 25cos 35cos 25sin 35 sin(2535)sin 60 32.栏目导航栏目导航43 4已知，均为锐角，sin 55，cos 1010，求.解，均为锐角，sin 55，cos 1010，sin 3 1010，cos 2 55.sin sin，20，栏目导航栏目导航44 sin()sin cos cos sin 55 1010 2 55 3 1010 22，4.栏目导航栏目导航45 课 时 分 层 作 业 点击右图进入 Thank you for watching!