1、阶段质量检测（一） 立体几何初步(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()解析：选A由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2.2直线l与平面不平行，则()Al与相交BlCl与相交或l D以上结论都不对解析：选C直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交因为直线l与平面不平行，所以l与相交或l.3已知m，n是两条不同的直线，是三个不同
2、的平面，则下列命题中正确的是()A若，则B若mn，m，n，则C若mn，m，n，则D若mn，m，则n解析：选C对于A，若，则或与相交；对于B，若mn，m，n，则或与相交；易知C正确；对于D，若mn，m，则n或n在平面内故选C.4设BD1是正方体ABCDA1B1C1D1的一条对角线，则这个正方体中面对角线与BD1异面的有()A0条 B4条C6条 D12条解析：选C每个面中各有一条对角线与BD1异面，它们是：AC，A1C1，B1C，A1D，AB1，DC1.5在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()AA1EDC1 BA1EBDCA1EBC1 DA1EAC解析：选C法一：由正方体的性
3、质，得A1B1BC1，B1CBC1，A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD.又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1.法二：A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，B、D错；A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1CBC1，A1EBC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1B1C，BC1CE，又CEB1CC，BC1平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，A1EBC1.)A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错6已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB2，CD4，EFAB，则EF与CD所成的角的度数为
4、()A90 B45C60 D30解析：选D取BC的中点G，连结EG，FG，则EG1，FG2，EFEG，则EF与CD所成的角等于EFG，为30.7已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是()A30 B60C30135 D135解析：选A由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为 ，则这个直棱柱的侧面积为4530.8已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l解析：选D由于m，n为异面直线，m平面，n平面，则平面与平面必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线
5、m，n，又直线l满足lm，ln，则交线平行于l，故选D.9(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为()A8 B6C8 D8解析：选C如图，连接AC1，BC1，AC.AB平面BB1C1C，AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，AC1B30.又ABBC2，在RtABC1中，AC14.在RtACC1中，CC12，V长方体ABBCCC12228.10.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：OMPD；OM平面PCD；OM平面PDA；OM平面PBA；OM平面P
6、BC.其中正确的个数是()A1 B2C3 D4解析：选C显然OMPD，又PD平面PCD，PD平面PDA.OM平面PCD，OM平面PDA.正确11在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B.C. D2解析：选C过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为VV圆柱V圆锥AB2BCCE2DE122121，故选C.12在正四棱锥PABCD中，
7、PA2，直线PA与平面ABCD所成角为60，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为()A90 B60C45 D30解析：选C连结AC，BD交于点O，连结OE，OP，BE.因为E为PC的中点，所以OEPA，所以OEB即为异面直线PA与BE所成的角因为四棱锥PABCD为正四棱锥，所以PO平面ABCD，所以AO为PA在平面ABCD内的射影，所以PAO即为PA与平面ABCD所成的角，即PAO60.因为PA2，所以OAOB1，OE1.所以在RtEOB中OEB45，即异面直线PA与BE所成的角为45.故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中的横线上)13.如图所示
8、，在正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有一点E，F，且B1EC1F，则直线EF与平面ABCD的位置关系是_解析：过点E作EGAB，交BB1于点G，连结GF，则.B1EC1F，B1AC1B，FGB1C1BC.又EGFGG，ABBCB，平面EFG平面ABCD.又EF平面EFG，EF平面ABCD.答案：平行14.(2018天津高考)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为_解析：连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因为E，H分别为AD1，CD1的中点，所以EH
9、AC，EHAC，因为F，G分别为B1A，B1C的中点，所以FGAC，FGAC，所以EHFG，EHFG，所以四边形EHGF为平行四边形，又EGHF，EHHG，所以四边形EHGF为正方形，又点M到平面EHGF的距离为，所以四棱锥MEFGH的体积为2.答案：15设正三角形ABC的边长为a，PA平面ABC，PAAB，则A到平面PBC的距离为_解析：如图所示，取BC中点E，连结AE，PE，则AEBC，又BCPA，BC平面PAE.平面PAE平面PBC.在平面PAE内过A作AFPE，垂足为F，则AF平面PBC.则AFa.答案：a16将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD；
10、ACD是等边三角形；AB与平面BCD成60的角；AB与CD所成的角是60.其中正确结论的序号是_解析：如图所示，取BD中点E，连结AE，CE，则BDAE，BDCE，而AECEE，BD平面AEC，又AC平面AEC，故ACBD，故正确；设正方形的边长为a，则AECEa.由知AEC是直二面角ABDC的平面角，且AEC90，ACa，ACD是等边三角形，故正确；由题意及知，AE平面BCD，故ABE是AB与平面BCD所成的角，而ABE45，故不正确；分别取BC，AC的中点为M，N，连结ME，NE，MN.则MNAB，且MNABa，MECD，且MECDa，EMN是异面直线AB，CD所成的角在RtAEC中，AE
11、CEa，ACa，NEACa.MEN是正三角形，EMN60，故正确答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图所示，已知ABCD是矩形，E是以DC为直径的半圆周上一点，且平面CDE平面ABCD.求证：CE平面ADE.证明：E是以DC为直径的半圆周上一点，CEDE.又平面CDE平面ABCD，且ADDC，AD平面CDE.又CE平面CDE，ADCE.又DEADD，CE平面ADE.18(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，
12、且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积解：(1)证明：由BAPCDP90，得ABAP，CDPD.因为ABCD，所以ABPD.又APPDP，所以AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)如图所示，在平面PAD内作PEAD，垂足为E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，可得PE平面ABCD.设ABx，则由已知可得ADx，PEx.故四棱锥PABCD的体积VPABCDABADPEx3.由题设得x3，故x2.从而PAPDABDC2，ADBC2，PBPC2.可得四棱锥PABCD的侧面积为PAPDPAABPDDCBC2sin 6062.19(本小题满分12分)如图，直三棱
13、柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点(1)证明：BC1平面A1CD；(2)设AA1ACCB2，AB2，求三棱锥CA1DE的体积解：(1)证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连结DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD.由已知ACCB，D为AB的中点，所以CDAB.又AA1ABA，于是CD平面ABB1A1.由AA1ACCB2，AB2得ACB90，CD，A1D，DE，A1E3，故A1D2DE2A1E2，即DEA1D.所以VCA1DE1.20(本小题满分1
14、2分)(2018全国卷)如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，ACM90.以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA.(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQDA，求三棱锥QABP的体积解：(1)证明：由已知可得，BAC90，即BAAC.又因为BAAD，ACADA，所以AB平面ACD.因为AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得，DCCMAB3，DA3.又BPDQDA，所以BP2.如图，过点Q作QEAC，垂足为E，则QE綊DC.由已知及(1)可得，DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱锥QA
15、BP的体积为VQABPSABPQE32sin 4511.21(本小题满分12分) 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC2，PA2，E是PC上的一点，PE2EC.(1)证明：PC平面BED；(2)设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小解：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BDAC.又PA底面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD，因为ACPAA，所以BD平面PAC，PC平面PAC，所以BDPC.如图，设ACBDF，连结EF.因为AC2，PA2，PE2EC，故PC2，EC，FC，从而，.所以，又FCEPCA，所以FCEPCA，FECPAC90
16、.由此知PCEF.又BDEFF，所以PC平面BED.(2)在平面PAB内过点A作AGPB，G为垂足因为二面角APBC为90，所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBCPB，故AG平面PBC，AGBC.又PABC，PAAGA，故BC平面PAB，又AB平面ABC，于是BCAB，所以底面ABCD为正方形，又AC2，故AD2，PD2.设D到平面PBC的距离为d.因为ADBC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC，A，D两点到平面PBC的距离相等，即dAG.设PD与平面PBC所成的角为，则sin .所以PD与平面PBC所成的角为30.22(本小题满分12分)如图，在五面体ABCDEF
17、中，四边形ADEF是正方形，FA平面ABCD，BCAD，CD1，AD2，BADCDA45.(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；(2)证明：CD平面ABF；(3)求二面角BEFA的正切值解：(1)因为四边形ADEF是正方形，所以FAED.故CED为异面直线CE与AF所成的角因为FA平面ABCD，所以FACD.故EDCD.在RtCDE中，CD1，ED2，CE3，故cosCED.所以异面直线CE与AF所成角的余弦值为.(2)证明：过点B作BGCD，交AD于点G，则BGACDA45.由BAD45，可得BGAB.从而CDAB.又CDFA，FAABA，所以CD平面ABF.(3)由(2)及已知，可得AG，即G为AD的中点取EF的中点N，连结GN，则GNEF.因为BCAD，所以BCEF.过点N作NMEF，交BC于M，则GNM为二面角BEFA的平面角连结GM，可得AD平面GNM，故ADGM.从而BCGM.由已知，可得GM.由NGFA，FAGM，得NGGM.在RtNGM中，tanGNM.所以二面角BEFA的正切值为.
