1、第二章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.2 抛物线的简单几何性质 课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.掌握抛物线的几何性质(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题(难点)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知1抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页焦点p2，0p2，00，p20，p2准线xp2xp2yp2yp2
2、范围x0，yRx0，yR对称轴顶点性质离心率ey0，xRy0，xRx轴y轴(0,0)1课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2.焦点弦直线过抛物线 y22px(p0)的焦点 F，与抛物线交于 A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|x1p2，|BF|x2p2，故|AB|.3直线与抛物线的位置关系直线 ykxb 与抛物线 y22px(p0)的交点个数决定于关于 x 的方程组ykxb，y22px解的个数，即二次方程 k2x22(kbp)xb20 解的个数x1x2p课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 k0 时，若 0，则直线
3、与抛物线有个不同的公共点；若 0 时，直线与抛物线有个公共点；若 0，b0)的两条渐近线与抛物线 y22px(p0)的准线分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点若双曲线的离心率为 2，AOB的面积为 3，求抛物线的标准方程课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为3，交点横坐标为1，则抛物线过点(1，3)或(1，3)，设抛物线方程为y22px或y22px(p0)则2p3，从而抛物线方程为y23x或y23x.答案 y23x或y23x课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)由已知得ca2，所以a2b2a24
4、，解得ba 3，即渐近线方程为 y 3x.而抛物线准线方程为 xp2，于是 Ap2，3p2，Bp2，3p2，从而AOB 的面积为12 3pp2 3，可得 p2.因为抛物线开口向右，所以其标准方程为 y24x.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 抛物线各元素间的关系抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为p2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练1边长为 1 的等边三角形 AOB，O 为坐标原点，ABx 轴，以 O
5、为顶点且过 A，B 的抛物线方程是()Ay2 36 x By2 33 xCy2 36 xDy2 33 xC 设抛物线方程为 y2ax(a0)又 A 32，12(取点 A 在 x 轴上方)，则有14 32 a，解得 a 36，所以抛物线方程为 y2 36 x.故选 C课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页与中点弦、焦点弦有关的问题(1)过点 Q(4,1)作抛物线 y28x 的弦 AB，恰被点 Q 所平分，则AB 所在直线的方程为_(2)已知过抛物线 y22px(p0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点时，弦长|AB|x1
6、x2p.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(3)“中点弦”问题解题策略两法课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练2(1)已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，焦点在 x 轴上，直线 yx 与抛物线 C 交于 A，B 两点若 P(2,2)为 AB 的中点，则抛物线 C 的方程为_y24x 设抛物线 C 的方程为 y22px(p0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)则y212px1 y222px2 ，整理得y2y1x2x1 2py1y2又y2y1x2x11，y1y24，所以 2p4.因此抛物线 C 的方程为 y24x.课时分层作业当堂达标固双基
7、自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)直线 l 过抛物线 y24x 的焦点，与抛物线交于 A，B 两点，若|AB|8，求直线 l 的方程.【导学号：46342112】解 因为抛物线 y24x 的焦点坐标为(1,0)，若直线 l 与 x 轴垂直，则直线 l 的方程为 x1，此时|AB|4，不合题意，所以可设所求直线 l 的方程为 yk(x1)，由ykx1，y24x，得 k2x2(2k24)xk20，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页则由根与系数的关系，得 x1x22k24k2.又 AB 过焦点，由抛物线的定义可知|AB|x1x2p2k24k228，所以2k24k26，
8、解得 k1.所以所求直线 l 的方程为 xy10 或 xy10.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页直线与抛物线的位置关系 (1)已知直线 ykxk 及抛物线 y22px(p0)，则()A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线可能没有公共点(2)已知抛物线的方程为 y24x，直线 l 过定点 P(2,1)，斜率为 k，k 为何值时，直线 l 与抛物线 y24x 只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究(1)直线 ykxk 过定点(1,0)，根据
9、定点与抛物线的位置关系判断(2)直线与抛物线方程联立，根据“”的正负判断解析(1)直线方程可化为yk(x1)，因此直线恒过定点(1,0)，点(1,0)在抛物线y22px(p0)的内部，因此直线与抛物线有一个或两个公共点，故选C答案 C(2)由题意，直线l的方程为y1k(x2)由方程组y1kx2，y24x(*)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页可得 ky24y4(2k1)0.：当 k0 时，由方程得 y1，把 y1 代入 y24x，得 x14，这时，直线 l 与抛物线只有一个公共点14，1.：当 k0 时，方程的判别式为16(2k2k1)课时分层作业当堂达标固双基自主预
10、习探新知合作探究攻重难返首页a由 0，即 2k2k10，解得 k1 或 k12，所以方程只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线 l 与抛物线只有一个公共点b由 0，即 2k2k10，解得1k12，于是，当1k12，且 k0 时，方程有两个解，从而方程组(*)有两个解，这时直线 l 与抛物线有两个公共点课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页c由 0，解得 k12.于是 k12时，方程没有实数解，从而方程组(*)没有解，直线 l 与抛物线无公共点综上，当 k0 或 k1 或 k12时，直线 l 与抛物线只有一个公共点当1k12，且 k0 时直线 l 与抛物线有两个公
11、共点当 k12时，直线 l 与抛物线无公共点课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 直线与抛物线位置关系的判断方法设直线 l：ykxb，抛物线：y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2(2kb2p)xb20.(1)若 k20，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2)若 k20，当 0 时，直线与抛物线相交，有两个交点；当 0 时，直线与抛物线相切，有一个交点；当 0)，则由点 P(1,2)在抛物线上，得 222p1，解得 p2，故所求抛物线的方程是 y24x，准线方程是 x1.(2)证明：因为PA与PB的斜
12、率存在且倾斜角互补，所以kPAkPB，即y12x11y22x21.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页又 A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以 x1y214，x2y224，从而有y12y2141y22y2241，即4y124y22，得 y1y24，故直线 AB 的斜率 kABy1y2x1x24y1y21.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页母题探究：1.(变条件)若本例题改为：如图 2-4-6，已知直线 l：y2x4交抛物线 y24x 于 A，B 两点，试在抛物线 AOB 这段曲线上求一点 P，使PAB的面积最大，并求出这个最大面
13、积如何求解？图 2-4-6课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 由y2x4，y24x，解得x4，y4或x1，y2.由图可知，A(4,4)，B(1，2)，则|AB|3 5.设 P(x0，y0)为抛物线 AOB 这段曲线上一点，d 为点 P 到直线 AB 的距离，则课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页d|2x0y04|5 15y202y04 12 5|(y01)29|.2y04，(y01)290)(2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，直线 AB：xmy1(m0)，则xmy1，y24x，消去 x 得 y24my40.于
14、是，有 yMy1y222m，xMmyM12m21，即 M(2m21,2m)同理，N2m21，2m.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页因此，直线 MN 的斜率 kMN2m2m2m212m21mm21，方程为 y2mmm21(x2m21)，即 mx(1m2)y3m0.显然，不论 m 为何值，(3,0)均满足方程，所以直线 MN 过定点(3,0)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的
15、关系(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等解决这些问题的关键是代换和转化(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂 达 标固 双 基1顶点在原点，对称轴是 y 轴，并且顶点与焦点的距离为 3 的抛物线的标准方程为()Ax23y By26xCx212yDx26yC 由题意知抛物线方程为 x22py，且p23，即 p6，因此抛物线方程为 x212y.课时分层
16、作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2若抛物线 y22x 上有两点 A，B 且 AB 垂直于 x 轴，若|AB|2 2，则抛物线的焦点到直线 AB 的距离为()A12B14C16D18A 线段 AB 所在的直线的方程为 x1，抛物线的焦点坐标为12，0，则焦点到直线 AB 的距离为 11212.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3已知 AB 是过抛物线 2x2y 的焦点的弦，若|AB|4，则 AB 的中点的纵坐标是_158 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线 2x2y，可得 p14，|AB|y1y2p4，y1y2414154，故 AB 的
17、中点的纵坐标是y1y22158.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4若直线 xy2 与抛物线 y24x 交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点坐标是_.【导学号：46342114】(4,2)由xy2y24x得 x28x40，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x28，y1y2x1x244，故线段 AB 的中点坐标为(4,2)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5设直线 y2xb 与抛物线 y24x 交于 A，B 两点，已知弦 AB 的长为3 5，求 b 的值解 由y2xb，y24x，消去 y，得 4x24(b1)xb20.由 0，得 b12.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页则 x1x21b，x1x2b24.|x1x2|x1x224x1x2 12b.|AB|122|x1x2|512b3 5，12b9，即 b4.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（十三）点击上面图标进入 谢谢观看