1、6.1.4数乘向量学 习 目 标核 心 素 养1.理解数乘向量的定义及几何意义(重点)2了解数乘向量的运算律3会判定向量平行、三点共线(难点)1.通过学习数乘向量的定义、几何意义及运算律，培养学生的数学抽象、直观想象素养2通过数乘向量运算律的运用，向量平行及三点共线的判定与应用，培养学生的数学运算和逻辑推理素养.在急风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？这是因为在同一方向上光速远远大于声速经测量，光速大小约为声速的8.7105倍一重物由高空自由落下，由自由落体运动的速度公式vtgt可知，它在1 s末和2 s末的速度大小分别为v19.8 m/s和v219.6 m/s.显然
2、v22v1，并且方向都是竖直向下问题：在上述情景中的速度有什么关系？提示有倍数关系1数乘向量的定义一般地，给定一个实数与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作a.规定：(1)当0且a0时，|a|a|，且当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反(2)当0或a0时，a0.上述实数与向量a相乘的运算简称为数乘向量2数乘向量的几何意义把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小3数乘向量的运算律(a)(u)a.4向量平行与三点共线(1)向量平行：如果存在实数，使得ba，则ba.(2)三点共线：一般地，如果存在实数，使得，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线思考：“若向
3、量ba，则存在实数，使得ba.”成立吗？提示不成立，若a0，b0，则不存在1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)3a的方向与a的方向相同，且2a的方向与a的方向相反()(2)4a与4a的模相等()(3)a与a的方向相反()(4)若a，b共线，则存在唯一的实数，使ab.()(1)(2)(3)(4)(1)因为30，所以3a与a同向因为20，所以2a与a反向(2)因为|4a|4|a|，|4a|4|a|4|a|，故二者相等(3)当0时，a与a的方向相同(4)若b0时不成立2存在两个非零向量a，b满足b3a，则有()Aa与b方向相同Ba与b方向相反C|a|3b|D|a|b|B30，b与a方向相反
4、3点C在直线AB上，且3，则等于()A2 BCD2D3，2.4已知|a|4，|b|8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b_a.2由于|a|4，|b|8，则|b|2|a|，又两向量同向，故b2a.数乘向量的定义及其几何意义【例1】设a是非零向量，是非零实数，则以下结论正确的有_(1)|a|a|；(2)a与2a方向相同；(3)|2a|2|a|.思路探究根据数乘向量的概念解决(2)(3)当01时，|a|a|，(1)错误；(2)(3)正确数乘向量与原来向量是共线的，其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小1若两个非零向量a与(2x1)a方向相同，则x的取值范围为_，由向量数
5、乘定义可知，2x10，即x.数乘向量的运算【例2】下列各式化简正确的是_(1)32a5a；(2)a3(2)3a；(3)22；(4)0b0.(2)(3)因为32a6a，a3(2)3a，222，0b0.所以，(1)(4)错误，(2)(3)正确a中的实数叫做向量a的系数，数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘，作为新向量的系数2化简下列各式(1)4a.(2)2(3a)解(1)4aa.(2)2(3a)3a.数乘向量的应用角度一判断向量共线【例3】已知a2e，b4e，判断a，b是否平行，求|a|b|的值；若ab，说出它们是同向还是反向解因为b4e2(2e)2a，所以ab，且2|a|b|，即|a|b|12.
6、向量a，b反向(变条件)若把本例的条件改为“a2e，b3e，”其他不变，试求解解因为b3e(2e)a，所以ab，且|a|b|，即|a|b|23.向量a，b同向角度二判断三点共线【例4】已知e，3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，说出点A是线段BC的几等分点解因为3e3，所以，且有公共点B，所以A，B，C三点共线，又因为BC3AB，且向量，反向，如图，所以点A是线段BC的三等分点数乘向量的应用(1)如果存在实数，使得ba，则ba.(2)如果存在实数，使得，则，且AB与AC有公共点A，所以A，B，C三点共线3分别指出下列各题中A，B，C三点是否共线，如果共线，指出线段AB与BC的长度之比(
7、1)3.(2).解(1)因为3，所以，又有公共点C，所以A，B，C三点共线，且AB2BC，即ABBC21.(2)因为，所以，又有公共点A，所以A，B，C三点共线，且ABBC，即ABBC34.一、知识总结1实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加、减运算，例如a，a是没有意义的2a的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|倍3向量的数乘注意运用运算律(a)()a，注意判定向量平行(共线)与判定三点共线的差别二、常见误区数乘向量的方向性问题，由于方向错误导致解题失误共线向量中特别注意非零向量1下列各式中不表示向量的是()A0aBa3bC|3a|De(x，yR，且xy)C向量的数
8、乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量26()A化简结果为2aB与向量a同向C与向量a反向D其长度为2C62a，与向量a反向，其长度为2|a|.3向量与的长度之比为_23因为，所以|23.4已知|a|1，|b|3，若两向量方向相反，则向量a与向量b的关系为b_a.3由于|a|1，|b|3，则|b|3|a|，又两向量方向相反，故b3a.5(1)计算下列各式3；3(2)5a.(2)已知向量e1，e2不共线，求作向量2e13e2.解(1)33aa.3(2)5a3(2)5a30a.(2)在e1，e2所在平面内任取一点O，作e1，e2.延长OA到A，使|OA|2|OA|，则2e1，法一：延长BO至B，使|OB|3|OB|，则3e2.再利用向量加法的平行四边形法则，得到2e1(3e2)2e13e2.法二：延长OB到B，使|OB|3|OB|，则3，再利用向量减法的三角形法则得到向量2e13e2.
