1、核心概念掌握 知识点一 复数的三角形式(1)定义：r(cosisin)叫做复数 zabi 的三角表示式，简称三角形式即 zr(cosisin)，其中|z|r，为复数 z 的辐角(2)非零复数 z 辐角 的多值性：以 x 轴的非负半轴为始边，向量OZ所在的射线(射线 OZ)为的角 叫复数 zabi 的因此复数 z 的辐角是 2k(kZ)知识点二 辐角的主值(1)定义及表示：在 02 范围内的辐角 的值为辐角的主值，通常记作 argz，即 0argz2.(2)唯一性：复数 z 的辐角的主值是确定唯一的特别注意：z0 时，其辐角是任意的01 终边02 辐角1在复数的三角形式中，辐角 的值可以用弧度表
2、示，也可以用角度表示，可以是主值，也可以是主值加 2k 或k360(kZ)但为了简便起见，复数的代数形式化为三角形式时，一般将 写成主值2两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)1cosisin.()(2)2i2cos2isin2.()(3)3(cos200isin200)是复数的三角形式()2做一做(1)将复数 z11 3i 表示成三角形式为_(2)已知|z|2 3，argz53，求复数 z_.(3)若 a0，则 a 的三角形式是_答案(1)2cos23 isin23 (2)33i(3)a(cosisin)答案 核心素养形成 题型一复数
3、的代数形式化为三角形式例 1 把下列复数的代数形式化成三角形式：(1)3i；(2)1i.解(1)r 312，3i 对应的点在第一象限，tan 13 33，即 6，3i2cos6isin6.答案(2)r 11 2.1i 对应的点在第四象限，且 tan11 1，74，1i 2cos74 isin74.答案 复数代数形式化为三角形式的步骤(1)先求复数的模(2)决定辐角所在的象限(3)根据象限求出辐角(一般取其主值)(4)求出复数三角形式把下列复数表示成三角形式(1)22i；(2)2sin34 icos34.解(1)原式2 2 22 22 i 2 2cos34 isin34.(2)原式222 22
4、i 2cos74 isin74.答案 题型二判断复数三角形式的条件例 2 判断下列各式是否是复数的三角形式，若不是，把它们表示成三角形式(1)12cos4isin4；(2)12cos3isin3；(3)2cos5isin5；(4)sin5icos5.解 根据复数的三角形式的结构，zr(cosisin)，可依次作出判断(1)不是.12cos4isin4 12cos74 isin74.(2)不是12cos3isin3 1212 32 i12cos43 isin43.答案(3)不是.2cos5isin5 2cos45 isin45.(4)不是sin5icos5cos310isin310.答案 判断复
5、数的三角形式的条件(1)r0；(2)加号连接；(3)cos 在前，sin 在后；(4)前后一致，可任意值即“模非负，角相同，余正弦，加号连”求复数 z3sin3icos3 的辐角主值解 z332 12i 3cos116 isin116，辐角主值 argz116.答案 题型三复数三角形式化为代数形式例 3 把下列复数表示成代数形式(1)4cos3isin3；(2)6cos116 isin116.解 根据 abir(cosisin)，可得arcos，brsin，故可解(1)4cos3isin3 4124 32 i22 3i.(2)6cos116 isin116 6 32 612 i3 33i.答案
6、 将复数的三角形式化为代数形式：由 zr(cosisin)rcosirsin，可得 arcos，brsin.将下列复数的三角形式化成代数形式(1)z12cos6isin6；(2)z26(cos60isin60)解(1)z1232 12i 3i.(2)z2612 32 i 33 3i.答案 随堂水平达标 16 的辐角主值为()A0 B.2 C D2解析 66(10i)6(cosisin)，辐角主值.故选 C.解析 答案 C答案 2下列说法正确的是()A已知复数 zcos75 isin75，则 z 的辐角主值为35B复数 z2i3 的虚部为 2iC(3i)664D复数 z2i 的三角形式为 z2c
7、os32 isin32答案 C答案 解析 A 项，z 的辐角主值 argz75，错误；B 项，虚部为实数 2，错误；C 项，(3i)6(3i)23(22 3i)3832(2 3i)2322(2 3i)(2 3i)364，正确；D 项，z2(0i)2cos2isin2，错误故 C 正确解析 3复数12 32 i 的三角形式是_解析 12 32 icos53 isin53，故复数12 32 i 的三角形式是 cos53 isin53.解析 答案 cos53 isin53答案 4设复数 z，z2 的辐角主值为3，z2 的辐角主值为56，则 z_.答案 1 3i答案 解析 设 z2r1cos3isin3 r12 3r12 i，z2r2cos56 isin56 3r22 r22i.r122 3r12 i2 3r22 r22i，易得r1222 3r22，3r12 r22，r2 3r1，代入得 r12，z1 3i21 3i.解析 5设复数 z 满足 z3 z的辐角主值为54，z1 的模为 10，求复数 z.解 设 zxyi(x，yR)由|z1|10，得|(x1)yi|10，(x1)2y210.又 z3 z(xyi)3(xyi)2x4yi，所以 arg(z3 z)54 2x0，4y0，2x4y，解，可得 x2，y1.所以 z2i.答案 课后课时精练 点击进入PPT课件