1、第六章 实数6.1平方根 考点一、平方根算术平方根：如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。0的算术平方根是0。平方根:如果一个数x的平方等于a,即x2=a （x可能为正数，也可能为负数），那么x就叫做a的平方根(二次方根).开平方：求一个数a的平方根的运算,叫做开平方. 平方与开平方互为逆运算。考点二：平方根的表示方法:如果x2=a (a0), 那么x = ，读作“正负根号a”。表示a的正的平方根。表示 a的负的平方根。规定：正数a的正的平方根 叫做a的算数平方根；0的算数平方根是0.技巧归纳：1、正数有两
2、个平方根，它们互为相反数；2、0的平方根是0；3、负数没有平方根。 题型一：算术平方根的非负性解题1（2021辽宁大洼七年级期中）下列命题是真命题的是（ ）A0BC0）(1)当a6时，求n的值；(2)若n2+（n+a）28，求an的平方根43（2021全国七年级课时练习）根据下表回答下列问题：1616.116.216.316.416.516.616.716.816.917256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289（1）268.96的平方根是多少？（2）_；（3）在表中哪两个相邻的数之间？为什么？44（2021全国七年
3、级课时练习）已知M是大于但小于的所有整数的和，N是小于的最大整数，求的算术平方根45（2021辽宁大连七年级期末）如图用两个边长为cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为，且面积为cm2？请说明理由46（2021山西朔州市第二中学校初中部七年级期中）（1）计算 ； ； ； （2）根据（1）中的计算结果可知，_（3）利用上述规律计算：实数、在数轴上的位置，化简 47（2021安徽利辛七年级阶段练习）一组实数按下列规律排列：1；2； 第1行；3； 第2行；4； ； 第3行根据这个规律解答以下问题：（1）直接写出第4行第
4、1列所表示的实数是_；（2）实数排在第几行第几列？并说明理由1D【解析】【分析】根据真命题的概念，算术平方根的意义和绝对值的意义求解即可【详解】解：A、，则，故选项错误，是假命题，不符合题意；B、若，则，故选项错误，是假命题，不符合题意；C、若，则，故选项错误，是假命题，不符合题意；D、若，则，故选项正确，是真命题，符合题意；故选：D2C【解析】【分析】根据绝对值的性质化简解答即可【详解】由题意得：，解得，或，=-2+1=-1，或=-2-1=-3故选C3A【解析】【分析】根据非负数的性质分别求出x、y，根据有理数的乘方法则计算，得到答案【详解】解：，|x3|0，0，x30，y30，解得，x3，
5、y3，则（1）20211，故选：A4A【解析】【分析】根据算术平方根进行无理数的估算【详解】解：495864，即的值在7和8之间，故选：A5B【解析】【分析】根据的取值范围确定的取值，再根据、为整数，确定的最大值，再估算即可【详解】解：，即，又、是正整数，的最大值为28，比36更接近28，的值比较接近，即比较接近5，故选：B6C【解析】【分析】根据数轴及算术平方根可直接进行求解【详解】由数轴可得点N在2和3之间，故选C7B【解析】【分析】根据被开方数向左或向右移动2n位，则对应的算术平方根向左或向右移动n位解答即可【详解】解： 10.1故选B8D【解析】【分析】当根号内的两个平方的底数为1位数
6、时，结果为5，当根号内的两个平方的底数为2位数时，结果为55，当根号内的两个平方的底数为3位数时，结果为555，据此即可找出规律，根据此规律作答即可【详解】解：，=故选：D【点睛】本题主要考查了与算术平方根有关的数的规律探求问题，解题的关键是由前三个式子找到规律，再根据所找到的规律解答9C【解析】【分析】先根据表格得到规律，再根据规律确定结果【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位16.91001690，1041.1故选：C【点睛】本题考查了算术平方根和被开方数间关系，根据表格得到规律，是解决本题的关键10C【解析】【分
7、析】根据平方根的定义（如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根）即可得【详解】解：因为，所以的平方根是，故选：C【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题关键11D【解析】【分析】先根据平方根和立方根的定义，求出a、b的值，然后代值计算即可【详解】解：，或，故选D【点睛】本题主要考查了平方根和立方根，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解12A【解析】【分析】根据算术平方根和平方根的定义进行逐一判断即可【详解】解：，此选项错误；，故此选项错误；没有平方根，故此选项错误；，故3的算术平方根是，故此选项错误；（）2，故此选项正确故选A【点睛】本题考查了算术平方根、平方
8、根、解题的关键是注意算术平方根、平方根的区别和联系13D【解析】【分析】根据正数有两个平方根，且互为相反数，即可求解【详解】解：根据题意得： ，解得： 故选：D【点睛】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握正数有两个平方根，且互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根是解题的关键14D【解析】【分析】利用绝对值以及平方根的定义求出与的值，再根据取符合题意的值即可求出的值【详解】解：，解得：或，或，又，或，当，时，；当，时，则或故选：D【点点睛】此题考查了有理数的混合运算，绝对值，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键15D【解析】【分析】根据平方的运算法则，倒数的概念，立方根和算数平方根的
9、概念求解即可【详解】解：A、（2）2的结果是4，选项错误，不符合题意；B、1的立方根是-1，选项错误，不符合题意；C、3的倒数是，选项错误，不符合题意；D、64的算术平方根是8，选项正确，符合题意故选：D16B【解析】【分析】根据平方根、算术平方根的定义解答即可【详解】解：36的平方根是6，故错误；，故错误；0.1是0.01的平方根，故正确；81的算术平方根是9，故错误故选：B【点睛】本题主要考查的是算术平方根，以及平方根的定义，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键17C【解析】【分析】根据表中的数据以及算术平方根的定义求解即可，如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数
10、的平方根称之为算术平方根【详解】解：又a、b表示表中两个相邻的数，ab，故选C【点睛】本题考查了算术平方根的估算，根据表中信息求解是解题的关键18C【解析】【分析】直接利用平方根和算数平方根的意义得出答案【详解】解：A、，负数没有算术平方根，故此选项错误；、B、3，故此选项错误；C、3，故此选项正确；D、3，故此选项错误；故选：C【点睛】此题主要考查了平方根和算术平方根的意义，掌握定义是解答此题的关键19C【解析】【分析】先根据正数的平方根性质列出方程，解方程求出，再求平方根，利用平方根的平方求这个数即可【详解】解：一个正数的两个平方根为和，解得，当时，42=16故选择C【点睛】本题考查平方根
11、的性质，一元一次方程，乘方运算，掌握平方根的性质，一元一次方程，乘方运算是解题关键20C【解析】【分析】分两种情况讨论求解：当2m1与5m是a的两个不同的平方根和当2m1与5m是a的同一个平方根【详解】解：若2m1与5m互为相反数，则2m1+5m0，m4，5m5（4）9，a9281，若2m15m，m2，5m523，a329，故选C【点睛】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解21C【解析】【分析】根据题意可知判断的值在5、6、7、8、9哪个数之间，即的值在2、3、4、5、6哪个数之间，2、3、4、5、6可表示为，显然，即，故【详解】故选：C【点睛】本题考查了算术平
12、方根估计范围，将先看作进行比较，再加上3是解题的关键22D【解析】【分析】根据正数平方根有两个，它们是互为相反数，可列方程2x2+63x=0，解方程即可【详解】解：一个正数a的两个不同平方根是2x2和63x，2x2+63x=0，解得：x=4，2x2=24-2=8-2=6，正数a=62=36故选择D【点睛】本题考查平方根性质，一元一次方程，掌握正数有两个平方根，它们是互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根是解题关键23C【解析】【分析】由数轴知，a0b，得到a-b0，化简=-b【详解】解：由数轴知，a0b，a-b0，=-b，故选：C【点睛】此题考查了利用数轴比较数的大小，化简算术平方根，化简
13、绝对值，正确利用数轴比较数的大小是解题的关键24C【解析】【分析】根据平方根与算术平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法求解【详解】解：A、（2）2的平方根是2，原说法错误，故此选项不符合题意；B、4是16的算术平方根，原说法错误，故此选项不符合题意；C、2，的平方根是，原说法正确，故此选项符合题意；D、是的算术平方根，原说法错误，故此选项不符合题意故选：C【点睛】本题主要考查了算术平方根与平方根的性质，准确分析判断是解题的关键25D【解析】【分析】根据算术平方根的求法求解即可【详解】解：算术平方根的专用记号是“”根号前没有“”或“”号，式子表示算术平方根，符合题意；，式子表示算术平方根，符
14、合题意；，式子表示的不是算术平方根，不符合题意； ，故原式计算错误，选项错误，不符合题意； ，式子表示的是平方根，不符合题意；，式子表示算术平方根，符合题意故选：D【点睛】此题考查了算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根算术平方根的专用记号是“”根号前没有“”或“”号26C【解析】【分析】根据平方根和立方根的性质求出x，y，在进行代数式求值即可；【详解】的平方根是，的立方根是，当时，原式；当时，原式；的值为或7故选C【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的性质，代数式求值，准确计算是解题的关键27D【解析】【分析】根据平方根的性质逐个求解即可【详解】解：的平方根是，选项正确，不符合题意；当a
15、=0时，的平方根是0，选项错误，符合题意；当a0时，有正负两个平方根，选项错误，符合题意；正数的平方根一个是负数，一个是正数，选项错误，符合题意；0的平方根是0，1的平方根是，选项错误，符合题意综上所述，不正确的有4个故选：D【点睛】此题考查了平方根的性质，解题的关键是熟练掌握平方根的性质28C【解析】【分析】根据已知条件，可确定的范围，进而求得的值【详解】4622116，4722209， 若n为整数且nn1，故选C【点睛】本题考查了算术平方根的定义，无理数大小的估算，理解题意是解题的关键29B【解析】【分析】由算术平方根与偶次方的非负性可得且再解方程求解的值，从而可得答案.【详解】解： 且
16、解得： 故选：【点睛】本题考查的是非负数的性质，有理数乘方的符号的确定，掌握算术平方根的非负性是解本题的关键.30B【解析】【分析】分析数据可得：，有；，有；若，必有；且，则；则【详解】解：，可得；，可得；，则，则，故选：B【点睛】本题考查了根据算术平方根的性质化简，根据题意找到规律是解题的关键31C【解析】【分析】根据二次根式有意义，被开方数非负数对各选项分析判断利用排除法求解【详解】解：30，故一定有意义；-30，故无意义；0，故一定有意义；0，故一定有意义；不一定大于等于0，故不一定有意义；0，故一定有意义故选：C【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数32C【解析】【分析
17、】根据表格找到对应的，再求平方根即可，一个正数的平方根有2个，并且它们互为相反数【详解】，的平方根是故选C.【点睛】本题考查了求一个数的平方根，理解一个正数的平方根有2个，并且它们互为相反数是解题的关键33A【解析】【分析】根据一个正数的平方根有两个，且这两个平方根互为相反数求解即可得到答案.【详解】解：一个正数的平方根2m5与4m92m5+4m9=0解得m=故选A.【点睛】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键在于能够熟练掌握平方根的定义.34B【解析】【分析】由于2x-1与1-2x互为相反数，要使根式有意义，则被开方数为非负数，由此即可求出x、y的值，最后求xy的值【详解】解：要使根式有意
18、义，则2x-10，1-2x0，解得x=，y=4，xy=2故选：B【点睛】本题主要考查算术平方根，利用了算术平方根的被开方数必须为非负数，比较简单356【解析】【详解】略363或4【解析】略373【解析】略3881【解析】【分析】根据两个正数的两个不同平方根是互为相反数列方程求出a，进而可求出这个数【详解】解：由题意得+=0，a=4，=9，这个数是：92=81，故答案为：81【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，0的平方根是0；正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根3916【解析】【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性，求得
19、的值，进而根据有理数的乘方运算计算即可【详解】解：由题意得，解得，所以，故答案为：16【点睛】本题考查了平方的非负性，算术平方根的非负性，有理数的平方，掌握以上知识是解题的关键408【解析】【分析】如图，根据图形可知与的面积相等，可得小猫头部的面积是正方形面积的，可求出正方形的面积，根据算术平方根的定义即可得答案【详解】如图所示：与的面积相等，小猫头部的面积是正方形面积的，小猫头部的面积是16，正方形面积为164=64cm2，64=82，正方形的边长为8cm，故答案为：8【点睛】本题主要考查了七巧板和正方形面积公式以及算术平方根等知识，根据已知得出原正方形的面积是解题关键41(1)11； (2
20、) ； (3)13； (4)8【解析】【分析】（1）直接根据平方根的定义求解；（2）把带分数化成假分数，再根据平方根的定义求解；（3）（4）先化简，再根据平方根的定义求解【详解】含有乘方运算先求出它的幂，再开平方（1）因为(11)2=121，所以121的平方根是11；（2），因为， 所以的平方根是；（3）(-13)2=169，因为(13)2=169，所以(-13)2的平方根是13；（4）-(-4)3=64，因为(8)2=64，所以-(-4)3的平方根是8【点睛】本题考查了平方根，开方运算是解题关键，注意正数的平方根有两个，它们互为相反数42(1)n3(2)【解析】【分析】（1）利用正实数平方根
21、互为相反数即可求出a的值；（2）利用平方根的定义得到（n+a）2a2x，代入式子n2+（n+a）28求出x值即可(1)解：正实数x的平方根是n和n+a，n+n+a0，a6，2n+60n3；(2)解：正实数x的平方根是n和n+a，（n+a）2x，n2x，n2+（n+a）28，x+x8，x4，n2，n+a2，即a4，an6，an的平方根是【点睛】本题考查平方根、代数式求值、解一元一次方程，熟知正实数平方根互为相反数是解答的关键43（1）；（2）16.9；（3）在16.4与16.5之间，理由见解析【解析】【分析】（1）观察表格中的数据可知，16.42=268.96,根据平方根定义即可求解；（2）由表
22、中的数据结合开平方先求出，再根据近似计算即可求解；（3）观察表中数据找到270介于哪两个小数之间，再根据算术平方根可得在16.5和16.6之间即可【详解】解：（1）由表中数据可知：16.42=268.96，268.96的平方根是16.4；（2）由表中数据可知：16.92=285.61，故答案为16.9；（3）由表中数据可知：，16.62275.56，16.52272.25， ，在表中介于16.5和16.6之间【点睛】本题考查利用表格数据，求平方根，近似计算，估值，掌握利用表格数据搜集与处理数据的能力，会求平方根，近似计算以及估值是解题关键44的算术平方根是2【解析】【分析】设整数a满足，先求出
23、所有的整数a的值，求出之和确定出M，求出不等式的最大整数确定出N，进而确定出M+N的算术平方根【详解】解：设整数a满足，整数a=1，0，1，2，它们的和M=1+0+1+2=2，N是小于的最大整数，N=2，M+N=2+2=4，4的算术平方根是2MN的算术平方根是2【点睛】此题考查了估算无理数的大小，算术平方根和代数式求值，弄清估算无理数的方法是解本题的关键45不能截得长宽之比为，且面积为cm2的长方形纸片，见解析【解析】【分析】根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长、宽之比为3：2，计算长方形的长与宽进行验证即可【详解】解：不能，因为大正方形纸片的面积为（）2+（）2=36（cm2），所以
24、大正方形的边长为6cm，设截出的长方形的长为3b cm，宽为2b cm，则6b2=30，所以b=（取正值），所以3b=3=，所以不能截得长宽之比为3：2，且面积为30cm2的长方形纸片【点睛】本题考查了算术平方根，理解算术平方根的意义是正确解答的关键46（1）3，6，0；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据算术平方根的定义分别计算即可；（2）根据计算结果归纳可得；（3）根据数轴得到a，b的关系和符号，再结合（2）中结论去绝对值化简【详解】解：（1）3，6，0；（2）由计算结果可知：；（3）由数轴可得：a0b，a-b0，=【点睛】本题考查了算术平方根，实数与数轴，化简绝对值，解题的关键是通过计算发现规律47（1）；（2）第289行第5列【解析】【分析】（1）观察可得每行有7个数字，分别是从1开始的连续自然数的算术平方根，据此可得；（2）计算2021与7的结果，根据余数判断即可【详解】解：（1）由题意可得：第4行第1列所表示的实数是；（2）20217=2885，排在第289行第5列
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