1、专题七选修系列4第1讲几何证明选讲 (推荐时间：60分钟)一、填空题1. (2011陕西)如图，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，则BE_.2(2011湖南)如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC4，ADBC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为_二、解答题3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，ECAD.求证：ACBECEAD.4(2011江苏)如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1r2)圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)求证：ABAC为定值5如图，在直角梯形ABCD中，DCA
2、B，CBAB，ABADa，CD，点E，F分别为线段AB，AD的中点，求EF的长6如图所示，点P是圆O直径AB延长线上的一点，PC切圆O于点C，直线PQ平分APC，分别交AC、BC于点M、N.求证：(1)CMCN；(2)MN22AMBN.7如图，四边形ABCD内接于O，.过A点的切线交CB的延长线于E点求证：AB2BECD.8如图，PA切O于点A，割线PBC经过圆心O，OBPB1，OA绕点O逆时针旋转60到OD，求PD的长9. 如图，已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于点H，ABC60，F在AC上，且AEAF.求证：(1)B、D、H、E四点共圆；(2)CE平分DEF.10如图，已知AD是AB
3、C的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连结FB，FC.(1)求证：FBFC；(2)求证：FB2FAFD；(3)若AB是ABC外接圆的直径，EAC120，BC6 cm，求AD的长答 案14 2. 3证明因为四边形ABCD是平行四边形，所以AFBC，所以.又因为AECD，所以AFEDFC，所以，即.又因为ECAD，CAFDAC，所以AFCACD，所以，所以，所以ACBECEAD.4. 证明如图，连结AO1并延长，分别交两圆于点E和点D.连结BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径从而ABDACE.所
4、以BDCE，于是.所以ABAC为定值5解连结DE，由于E是AB的中点，故BE.又CD，ABDC，CBAB，四边形EBCD是矩形在RtAED中，ADa，F是AD的中点，故EF.6证明(1)PC切圆O于点C，PCBPAC，又CPMAPM，CNMCPMPCBAPMPAMCMN，CMCN.(2)CPNAPM，PCNPAM，PCNPAM，同理PNBPMC，.又PC2PAPB，由可知CMCNAMBN，CMCN，CM2AMBN.AB是圆O的直径，ACB90.MN22CM2，即MN22AMBN.7证明连结AC.EA切O于A，EABACB，ACDACB，ABAD.EABACD.又四边形ABCD内接于O，所以AB
5、ED.ABECDA.，即ABDABECD.AB2BECD.8解方法一连结AB，PA切O于点A，B为PO中点，ABOBOA，AOB60，POD120.在POD中，由余弦定理得PD2PO2DO22PODOcosPOD414()7.PD.方法二过D作DEPC，垂足为E，POD120，DOE60，可得OE，DE，在RtPED中，PD.9证明(1)在ABC中，ABC60，BACBCA120.AD，CE分别是ABC的角平分线，HACHCA60，AHC120.EHDAHC120.EBDEHD180.B，D，H，E四点共圆 (2)连结BH，则BH为ABC的平分线，EBHHBD30.由(1)知B，D，H，E四点共圆，CEDHBD30，HDEEBH30.HEDHDE30.AEAF，AD平分BAC，EFAD.CEF30.CE平分DEF.10(1)证明因为AD平分EAC，所以EADDAC.因为四边形AFBC内接于圆，所以DACFBC.因为EADFABFCB，所以FBCFCB，所以FBFC.(2)证明因为FABFCBFBC，AFBBFD，所以FBAFDB.所以，所以FB2FAFD.(3)解因为AB是圆的直径，所以ACB90.又EAC120，所以ABC30，DACEAC60.因为BC6，所以ACBCtanABC2，所以AD4(cm)