1、2.7 函数的图像一、选择题1已知函数yf(x)的周期为2，当x1,1时f(x)x2，那么函数yf(x)的图象与函数y|lg x|的图象的交点共有()A10个 B9个 C8个 D1个解析(数形结合法)画出两个函数图象可看出交点有10个答案A【点评】 本题采用了数形结合法.数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支持作用，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观.2函数y|x|与y在同一坐标系上的图像为()解析：因为|x|，所以函数y|x|的图像在函数y图像的下方，排除C、D，当x时，|x|，排除B
2、，故选A.答案：A3函数y的图象与函数y2sin x(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A2 B4 C6 D8解析此题考查函数的图象、两个函数图象的交点及函数的对称性问题两个函数都是中心对称图形如上图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在2,4上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.答案D4yxcos x的大致图象是()解析：当x0时，y1；当x时，y；当x时，y，观察各选项可知B正确答案：B5由方程x|x|y|y|1确定的函数yf(x)在(，)上是()A增函数 B减函数C先增后减 D先减后增解析当x0且y0时，x2y21，当x0且y0
3、时，x2y21，当x0时，y2x21，当x0且y0，且a1，f(x)x2ax，当x(1,1)时，均有f(x)，则实数a的取值范围是_解析：由题知，当x(1,1)时，f(x)x2ax，即x2ax.在同一坐标系中分别作出二次函数yx2，指数函数yax的图象，如图，当x(1,1)时，要使指数函数的图象均在二次函数图象的上方，需a2且a1.故实数a的取值范围是a1或1a2.答案：，1)(1,211设f(x)表示x6和2x24x6中较小者，则函数f(x)的最大值是_解析在同一坐标系中，作出yx6和y2x24x6的图象如图所示，可观察出当x0时函数f(x)取得最大值6.答案612.已知函数f(x)=()x
4、的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称，令h(x)=g(1-|x|)，则关于h(x)有下列命题：h(x)的图象关于原点对称；h(x)为偶函数；h(x)的最小值为0；h(x)在(0，1)上为减函数.其中正确命题的序号为_.(将你认为正确的命题的序号都填上)解析g(x)= x,h(x)= (1-|x|),h(x)= 得函数h(x)的大致图象如图，故正确命题序号为.答案：三、解答题13.作出下列函数的大致图象(1)y=x2-2|x|;(2)y= 3(x+2);(3)y=.解析 (1)y= 的图象如图(1).(2)y= 3+ (x+2)=-1+ (x+2)，其图象如图(2).(3)y=，其图
5、象如图(3).14设函数f(x)x的图象为C1，C1关于点A(2,1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x)(1)求g(x)的解析式；(2)若直线ym与C2只有一个交点，求m的值和交点坐标解析(1)设点P(x，y)是C2上的任意一点，则P(x，y)关于点A(2,1)对称的点为P(4x,2y)，代入f(x)x，可得2y4x，即yx2，g(x)x2.(2)由消去y得x2(m6)x4m90，(m6)24(4m9)，直线ym与C2只有一个交点，0，解得m0或m4.当m0时，经检验合理，交点为(3,0)；当m4时，经检验合理，交点为(5,4)15当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，求
6、a的取值范围解析：设f1(x)(x1)2，f2(x)logax，要使当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，只需f1(x)(x1)2在(1,2)上的图象在f2(x)logax的下方即可当0a1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)(x1)2的图象在f2(x)logax的下方，只需f1(2)f2(2)，即(21)2loga2，loga21，1a2.a的取值范围是(1,216已知函数yf(x)的定义域为R，并对一切实数x，都满足f(2x)f(2x)(1)证明：函数yf(x)的图象关于直线x2对称；(2)若f(x)是偶函数，且x0,2时，f(x)2x1，求x4,0时的f(x)的表达式解析 (1)证明设P(x0，y0)是函数yf(x)图象上任一点，则y0f(x0)，点P关于直线x2的对称点为P(4x0，y0)因为f(4x0)f2(2x0)f2(2x0)f(x0)y0，所以P也在yf(x)的图象上，所以函数yf(x)的图象关于直线x2对称(2) 当x2,0时，x0,2，所以f(x)2x1.又因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x )2x1，x2,0当x4，2时，4x0,2，所以f(4x)2(4x)12x7，而f(4x)f(x)f(x)，所以f(x)2x7，x4，2所以f(x)