1、5.7 三角函数的应用（学案）【学习目标】课程标准学科素养1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题2.能将某些实际问题抽象为三角函数模型1.数学建模2.数学运算【自主学习】一简谐运动在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”，可以用函数y=Asin(x+),x0,+)表示,其中A0,01. 就是简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；2.简谐运动的周期是T ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；3.简谐运动的频率由公式f 给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复
2、运动的次数；4. 称为相位；x0时的相位 称为初相二.三角函数模型的应用1.匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用_准确地描述它们的运动变化规律2.函数模型的应用：利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题【小试牛刀】1.思辨解析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数y2sin(3x2)的振幅为2.()(2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s，振幅为5 cm，则该振子在2 s内通过的路程为50 cm. ()(3)电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I5sin，则当t
3、 s时，电流强度I为 A.()(4)在解决实际问题时，利用收集的数据作散点图，可精确估计函数模型()2.函数ysin的周期、振幅、初相分别是()A3， B6， C3，3， D6，3，3.某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)2sin (512t6)，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是_m【经典例题】题型一 三角函数模型在物理学中的应用点拨：解三角函数应用问题的一般步骤例1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s4sin，t0，)用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题(1)小球在开始振动(
4、t0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？【跟踪训练】1 已知电流I与时间t的关系式为IAsin(t).(1)如图是IAsin(t)在一个周期内的图象，根据图中数据求IAsin(t)的解析式；(2)如果t在任何一段秒的时间内，电流IAsin(t)都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？题型二 三角函数在生活中的应用例2如图所示，一个摩天轮半径为10m，轮子的底部在距离地面2m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时(1)求此人相对于地面的高度
5、关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m?【跟踪训练】2 某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)102sin，t0,24)(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ，则在哪段时间实验室需要降温？【当堂达标】1.简谐运动的相位与初相是（ ）A， B，4 C， D，2.如图所示，单摆离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s6sin，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为()A2 s B1 s C. s D. s3.电流强度I(A)随时间t(s)变化的
6、关系式是I5sin (100t3)，则当t1200s时，电流强度I为()A5A B2.5A C2A D5A4.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)504sin (t0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的()A0,5 B5,10 C10,15 D15,205.如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为 6.交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E220sin来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最
7、大值和第一次获得最大值的时间7.某港口水深y(米)是时间t(0t24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t(小时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型yAsintB的图象(1)试根据数据表和曲线，求出yAsintB的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)【课堂小结
8、】1.掌握2个应用(1)三角函数在物理中的应用(2)三角函数在生活中的应用2.掌握4个步骤解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、还原评价【参考答案】【自主学习】A x 三角函数模型【小试牛刀】1.(1) (2)(3) (4)2.B3. 1 解析：当t12时，f(12)2sin (56)2sin561，即12点时潮水的高度是1m.【经典例题】例1 解：列表如下：t2t02sin01010s04040描点、连线，图象如图所示(1)将t0代入s4sin，得s4sin 2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和4 cm.(3
9、)因为振动的周期是，所以小球往复振动一次所用的时间是 s.【跟踪训练】1 解：(1)由题图可知A300.设t1，t2，则周期T2(t2t1)2，150.又当t时，I0，即sin0，而|，.故所求函数的解析式为I300sin.(2)依题意，周期T，即(0)，300942.48.又N*，故的最小正整数值为943.例2解：(1)设在ts时，摩天轮上某人在高hm处这时此人所转过的角为2300t150t，故在ts时，此人相对于地面的高度为h10sin150t12(t0)(2)由10sin150t1217，得sin150t12，则25t125.故转动的一圈内，此人有100s相对于地面的高度不小于17m.【
10、跟踪训练】2 解：(1)因为f(t)102sin，又0t24，所以t，1sin1.当t2时，sin1；当t14时，sin1.于是f(t)在0,24上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ，最低温度为8 ，最大温差为4 .(2)依题意，当f(t)11时实验室需要降温由(1)得f(t)102sin，故有102sin11，即sin.又0t24，所以t，即10t18.故在10时至18时实验室需要降温【当堂达标】1.C 解析：相位是，当时的相位为初相即故选：C2.C解析：因为T1，所以从最右边到左边的时间为半个周期，即 s，故选C.3.B解析：将t1200代入I5sin (100t3
11、)，得I2.5A.4.C 解析：由2k2k，kZ，知函数F(t)的增区间为4k，4k，kZ.当k1时，t3，5，而10,153，5，故选C.5. y6sinx解析：设y与x的函数关系式为yAsin(x)(A0，0)，则A6，T12，.当x9时，ymax6.故92k，kZ.取k1得，即y6sinx.6. 解：(1)当t0时，E110(V)，即开始时的电压为110 V.(2)T(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 V，当100t，即t s时第一次取得最大值.7. 解： (1)从拟合的曲线可知，函数yAsintB的一个周期为12小时，因此.又ymin7，ymax13，A(ymaxymin)3，B(ymaxymin)10.函数的解析式为y3sint10(0t24)(2)由题意，得水深y4.57，即y3sint1011.5，t0,24，sint，t，k0,1，t1,5或t13,17，所以，该船在100至500或1300至1700能安全进港若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时
