1、第五章 三角函数课时5.7 三角函数的应用1.了解y=Asin(x+)的图象的物理意义,能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.2.会用三角函数构建物理中周期变化的数学模型.3.能用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.基础过关练题组一函数式y=Asin(x+) 描述简谐运动时的基本概念1.已知简谐运动f(x)=2sin3x+|0,k0)C.y=-acos(x-1)6+k(a0,k0)D.y=acosx6-38.如图所示,质点P在半径为2的圆周上按逆时针方向运动,其初始位置为P0(2,-2),角速度为1 rad/s,那么点P到x轴的距离d关于时间t(s)的函数图象大致为 ()9.国
2、际油价在某一时间内呈现正弦波动规律:P=Asint+4+60(单位:美元,t为天数,A0,0),现采集到下列信息:最高油价80美元,当t=150时,油价最低,则A的值为,的最小值为.10.如图为2018年某市某天6时至14时的温度变化曲线,其近似为函数y=Asin(x+)+bA0,0,20,0,0s2B.s10,0,|,t0,24)的解析式;(2)23日上午9时某高中将举行阶段性考试,如果此时气温低于10 (不考虑室内外的温差),教师就要开空调,请问届时应该开空调吗?11.如图是半径为1 m的水车截面图,在它的边缘圆周上有一动点P,按逆时针方向以角速度3 rad/s(每秒绕圆心转动3 rad)
3、做圆周运动,已知点P的初始位置为P0,且xOP0=6,设点P的纵坐标y是转动时间t(单位:s)的函数,记为y=f(t).(1)写出函数y=f(t)的解析式,并求f(0), f32的值;(2)选用恰当的方法作出函数f(t),0t6的简图;(3)试比较f13, f314, f315的大小(直接给出大小关系,不用说明理由).答案全解全析基础过关练1.A由题意知T=23=6, f(0)=2sin =1,因为|0,0).由题知A=4,T=,所以=2T=2.当x=0时,y=2,且小球开始向上运动,所以=2k+6,kZ,不妨取=6,故所求关系式可以为y=4sin2x+6.6.C由题图易得ymin=k-3=2
4、,则k=5,ymax=k+3=8.7.C当x=1时,图象处于最低点,排除B;当x=7时,图象处于最高点,排除A,D.故选C.8.C 根据点P0的坐标可得xOP0=-4,故xOP=t-4.设点P(x,y),则由三角函数的定义,可得sinxOP=y2,即sint-4=y2,故y=2sint-4,因此点P到x轴的距离d=|y|=2sint-4,据解析式可得C选项中的图象符合条件,故选C.9.答案20;1120解析由A+60=80得A=20.因为当t=150时油价最低,所以150+4=-2+2k,kZ,即=k75-1200,又0,所以当k=1时,取得最小值,此时=175-1200=1120.10.答案
5、13 解析由题意得A=12(30-10)=10,b=12(30+10)=20.T=2(14-6)=16,2=16,=8,y=10sin8x+20.将x=6,y=10代入,得10sin86+20=10,即sin34+=-1.20,0),则-A+b=700,A+b=900,解得A=100,b=800.又周期T=12,=2T=6,y=100sin6t+800.又当t=6时,y=900,900=100sin66+800,sin(+)=1,sin =-1,可取=-2,y=100sin6t-2+800.(2)当t=2时,y=100sin62-2+800=750,即当年3月1日动物种群数量估计是750.13
6、.解析(1)设该函数为f(x)=Asin(x+)+B(A0,0,0|),根据条件,可知这个函数的周期是12;由可知, f(2)最小, f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;由可知, f(x)在2,8上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.根据上述分析可得,2=12,故=6,且-A+B=100,A+B=500,解得A=200,B=300.根据分析可知,当x=2时, f(x)最小,当x=8时, f(x)最大,故sin26+=-1,且sin86+=1.又因为0|,故=-56.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)=200sin6x-56+300
7、.(2)由条件可知,200sin6x-56+300400,化简得sin6x-5612,即2k+66x-562k+56,kZ,解得12k+6x12k+10,kZ.因为xN*,且1x12,所以x=6,7,8,9,10,即在6月、7月、8月、9月、10月5个月份要准备400份以上的食物.能力提升练1.D函数的周期为T=22=,5个周期即5,故选D.2.A由题图知A=10,函数的周期T=24300-1300=150,所以=2T=2150=100,则I=10sin(100t+),将点1300,10代入I=10sin(100t+),可得sin3+=1,3+=2+2k,kZ.又0,=6,故函数解析式为I=1
8、0sin100t+6,将t=7120代入函数解析式,得I=0.3.C当t=23时,s1=5sin223+6=5sin32=-5,s2=10cos223=-5,所以s1=s2.4.BC由题图可知,运动周期为2(0.7-0.3)=0.8 s,故A错误;该质点的振幅为5 cm,B正确;由简谐运动的特点知,质点在0.3 s和0.7 s时运动速度最大,在0.1 s和0.5 s时运动速度为零,故C正确,D错误.故选BC.5.B设上午10点整时热气球距离地面的高度为h,10点20分时,高度为h+m,11点整时的高度为H,此时的角度为,根据直角三角形的边角关系得到htan30=h+mtan34=Htan,所以
9、m0.17 h,因为热气球是匀速上升的,故H=h+3mh+0.173h=1.51h,代入上述关系式得到tan 0.871,根据题表中的数据得到仰角最接近41.6.ACD建立如图所示的平面直角坐标系,设(02)是以x轴的非负半轴为始边,OP0(P0表示点P的起始位置)为终边的角,由点P的起始位置在最高点知,=2,又由题知OP在t min内转过的角为220t,即t10,所以以x轴的非负半轴为始边,OP为终边的角为t10+2,即点P的纵坐标为40sint10+2,所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数关系式是h(t)=50+40sint10+2=50+40cost10.当t=10时,h=50+
10、40cos =10,A正确;当转速减半时,周期是原来的2倍,B错误;h(17)=50+40cos1710=50+40cos310,h(43)=50+40cos4310=50+40cos310,C正确;由h(t)= 50+40cost1070得cost1012,解得2k-3t102k+3,kZ,即20k-103t20k+103,kZ,因此一个周期内高度不低于70 m的时长为203 min,D正确.故选ACD.解题模板解决与旋转有关的应用问题,可用三角函数(简谐运动)来研究,解题时要明确各个量及其关系,如本题中的周期为20 min,振幅为40 m,初相为2,平衡位置的高度为50 m.要防止将这些量
11、弄错导致解题错误.7.答案解析当-2x-1时,P的轨迹是以A为圆心,1为半径的14圆,当-1x1时,P的轨迹是以B为圆心,2为半径的14圆,当1x2时,P的轨迹是以C为圆心,1为半径的14圆,当2x3时,P的轨迹是以A为圆心,1为半径的14圆,故函数的周期为4.最终构成图象如图所示:根据图象的对称性可知函数y=f(x)是偶函数,故正确;f(x)的周期为4,故正确;函数y=f(x)在区间2,4上为增函数,故在区间10,12上也是增函数,故错误;函数y=f(x)在区间-1,1上的值域是1,2,故正确.综上,正确的序号是.8.D令2cos x=3tan x,可得2cos2x=3sin x,即 2si
12、n2x+3sin x-2=0,解得sin x=12或sin x=-2(舍去).又x0,x=6或x=56,不妨取A6,3,B56,-3,在同一平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象,如图所示.根据函数图象的对称性可得AB的中点C2,0,OAB的面积等于OAC的面积加上OCB的面积,即12OC|yA|+12OC|yB|=12OC|yA-yB|=12223=32,故选D.9.C如图所示,根据题意,设P的坐标为(cos ,sin ),其中点P不在坐标轴上.则|OM|=|cos |,|MP|=|sin |,则SPOM=12|OM|MP|=|sincos|2=|sin2|414,即POM面积的最大值为14,故选C.10.解析(1)A=1214-(-2)=8,b=1214+(-2)=6,由T=24得=224=12.所以f(t)=8sin12t+6.又 f(2)=8sin122+6=-2,即sin6+=-1,故6+=-2+2k,kZ.又|,所以=-23,所以函数解析式为f(t)=8sin12t-23+6.(2)当t=9时,y=8sin12+6f314f315.
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