1、5.5.2 简单的三角恒等变换【学习目标】课程标准学科素养1.能够综合运用两角和差公式、倍角公式、半角公式等进行简单的恒等变换2.运用恒等变换进行化简、求值、证明3.会利用辅助角公式化简asinxbcosx1.逻辑推理2.数学运算【自主学习】一半角公式1.sin ， 2.cos ， 3.tan ，4.tan ，tan .注意：符号由所在象限决定二积化和差公式sincos=12sin(+)+sin(-) .cossin=12sin(+)-sin(-) .coscos=12cos(+)+cos(-) .sinsin=-12cos(+)-cos(-) .三和差化积公式sin+sin=2sin+2co
2、s-2 .sin-sin=2cos+2sin-2 .cos+cos=2cos+2cos-2 .cos-cos=-2sin+2sin-2 .【小试牛刀】1.已知180360，则cos的值等于()A B C D2.已知cos ，则sin 等于()A. B C. D3.已知2，且cos45，则tan2的值等于()A3 B3 C13 D134.函数ycosxsinx的最小正周期为_【经典例题】题型 1应用半角公式求值例1 已知sin45，且523，求sin2，cos2，tan2.【跟踪训练】1 已知为钝角，为锐角，且sin ，sin ，求cos 的值题型二 三角函数化简与证明点拨：三角函数化简与证明的
3、常见方法1.从复杂的一端向简单一端化简，即化繁为简2.两边化简，使其都等于中间某个式子，即左右归一3.把式子中的切函数化为弦函数，即化切为弦4.利用分析法、综合法找与原式等价的式子，即等价化归 例2 已知，化简：.【跟踪训练】2 求证：sin 2.题型三 辅助角公式的应用点拨：对于形如asin xbcos x(a，b不同时为零)的式子可以引入辅助角变形为Asin(x)的形式即asin xbcos x.令cos ，sin ，原式(sin xcos cos xsin )sin(x)，其中tan .运用辅助角公式，必须满足三个条件：同角（均为x）；齐一次（均为一次的）；正余全（一个是sinx，一个是
4、cosx）。常见基本形式如下：1.2.3.4.例3-1化简：(1)(cosxsinx)；(2)3sinx3cosx.例3-2 当x时，函数f(x)sin xcos x的最大值为_，最小值为_例3-3 已知函数f(x)4cosxsin (x6)1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间6，4上的最大值和最小值【跟踪训练】3 已知函数f(x)sin2sin2(xR)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合【当堂达标】1.若sin()且，则sin等于()A B C. D2.设56，cosa，则sin等于()A. B C D3.函数f(x)sinxco
5、s的值域为()A2,2 B， C1,1 D，4.函数f(x)sin2x的最小正周期为 5.已知cos ，且1800，sin .3.A 解析：因为2，所以22,所以tan21-cos1+cos1-451+-453.42 解析：ycosxsinx2(22cosx22sinx)2sin (x4)，所以最小正周期为2.【经典例题】例1 解：sin45，523，cos1-sin235.54232，sin21-cos2255，cos21+cos255，tan2sin2cos22.【跟踪训练】1 解：因为为钝角，为锐角，sin ，sin ，所以cos ，cos ，所以cos()cos cos sin sin
6、 ，又因为，0，所以0，所以0，所以cos .例2 解：原式.，cos0，sin0，原式cos.【跟踪训练】2 证明：方法1：左边cos2cos2tan cos sin sin 2右边原式成立方法2：左边cos sin cos sin cos sin 2右边所以原式成立例3-1 解：(1)(cosxsinx)22cos.(2)3sinx3cosx666cos.例3-2 解：f(x)sin xcos x222sin.x，x，sin1，即1f(x)2.例3-3 解：(1)因为f(x)4cosxsin (x6)14cosx(32sinx12cosx)13sin2x2cos2x13sin2xcos2x
7、2sin (2x6)，故f(x)最小正周期为.(2)因为6x4，所以62x623.于是，当2x62，即x6时，f(x)取得最大值2；当2x66，即x6时，f(x)取得最小值1.【跟踪训练】3 解：(1)f(x)sin2sin2sin1cos212sin12sin1，T.(2)当f(x)取得最大值时，sin1，有2x2k，即xk(kZ)，所求x的集合为.【当堂达标】1.B 解析：由题意知sin ，所以cos .因为，所以sincos.故选B.2.D 解析：56，.又cosa，sin.3.B 解析：f(x)sinxcossinxcosxsinxsinxcosxsin，所以函数f(x)的值域为，故选
8、B.4.解析：因为f(x)sin2x，所以f(x)的最小正周期T.5. 解：法一：180270，90135，即是第二象限角，tan 0，tan 2.法二：180270，即是第三象限角，sin ，tan 2. 6.证明：左边右边所以原等式成立.7. 解：(1)f(x)cos2sin xcos xcos 2xsin 2xsin 2xsin 2xcos 2xsin，所以T.(2)证明：令t2x，因为x，所以2x，因为ysin t在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)sin，得证8. 解： f(x)(2sinxcosx)(2cos2x1)sin2xcos2x2sin.(1)f(x)的最小正周期为；最大值为2，最小值为1.(2)由(1)可知f(x0)2sin.又f(x0)，sin.由x0，得2x0，cos，cos2x0coscoscossinsin.
