1、学案28等差数列及其前n项和导学目标： 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等差数列与一次函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题自主梳理1等差数列的有关定义(1)一般地，如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的_等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为_ (nN*，d为常数)(2)数列a，A，b成等差数列的充要条件是_，其中A叫做a，b的_2等差数列的有关公式(1)通项公式：an_，anam_ (m，nN*)(2)前n项和公式：Sn_.3等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数
2、列an是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn_.4等差数列的性质(1)若mnpq (m，n，p，qN*)，则有_，特别地，当mn2p时，_.(2)等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列(3)等差数列的单调性：若公差d0，则数列为_；若d0，d0，且满足，前n项和Sn最大；(2)若a10，且满足，前n项和Sn最小；(3)除上面方法外，还可将an的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意nN*.解方法一2an1anan2，an是等差数列设an的首项为a1，公差为d，由a310，S672，得，.an4n2.则bnan302n31.解得n
3、.nN*，n15.bn前15项为负值. S15最小可知b129，d2，S15225.方法二同方法一求出bn2n31.Snn230n(n15)2225，当n15时，Sn有最小值，且最小值为225.变式迁移4解(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，a16a17a183a1736，a1712，d3，ana9(n9)d3n63，an13n60，令，得20n21，S20S21630，n20或21时，Sn最小且最小值为630.(2)由(1)知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数当n21时，TnSnn2n.当n21时，TnSn2S21n2n1 260.综上，Tn.课后练习区115解析在等差
4、数列an中，a5a6a3a822，a515.228解析a3a4a512，3a412，a44.a1a2a7(a1a7)(a2a6)(a3a5)a47a428.35解析由S3S7得a4a5a6a70，即a5a60，9d2a118，d2.Sn9nn(n1)2n210n.当n5时，Sn最小416解析a4a6a8a10a12120.5a8120.a824.a9a11a18d(a110d)(a17d)a816.5解析方法一由S20S40，得a1d，S6060a1d60d0.方法二由S20S40，得a21a22a400，a30a310.S6030(a30a31)0.615解析设等差数列公差为d，则S33a1
5、d3a13d3，即a1d1，S66a1d6a115d24，即2a15d8.联立两式得a11，d2，故a9a18d18215.710解析由等差数列的性质可知am1am12am，2ama0，am0或am2.又S2m1(2m1)am0，am2，由2(2m1)38，得m10.827解析点(n，an)在定直线l上，数列an为等差数列ana1(n1)d.将(5,3)代入，得3a14da5.S9(a1a9)9a53927.9(1)证明an是等差数列，a2a1d，a4a13d，又aa1a4，于是(a1d)2a1(a13d)，即a2a1dd2a3a1d (d0)化简得a1d.(6分)(2)解由条件S10110和
6、S1010a1d，得到10a145d110.由(1)知，a1d，代入上式得55d110，故d2，ana1(n1)d2n.因此，数列an的通项公式为an2n，nN*.(12分)10解(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，由于a37，a5a726，所以a12d7,2a110d26，解得a13，d2.(4分)由于ana1(n1)d，Sn，所以an2n1，Snn(n2)(7分)(2)因为an2n1，所以a14n(n1)，因此bn.(9分)故Tnb1b2bn.所以数列bn的前n项和Tn.(14分)11(1)证明将3anan1anan10(n2)整理得3(n2)所以数列为以1为首项，3为公差的等差数列(4分)(2)解由(1)可得13(n1)3n2，所以an.(8分)(3)解若an对n2的整数恒成立，即3n1对n2的整数恒成立整理得(10分)令cncn1cn.(14分)因为n2，所以cn1cn0，即数列cn为单调递增数列，所以c2最小，c2.所以的取值范围为(，(16分)