1、5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值【学习目标】课程标准学科素养1.掌握ysin x，ycos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值2.掌握ysin x，ycos x的单调性，并能利用单调性比较大小3.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的单调区间和最值1.直观想象2.数学运算【自主学习】正弦函数、余弦函数的性质 解析式ysin xycos x图象对称中心对称轴值域最值单调性【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数()(2)存在实数x，使得sinx2.()(3)在区间0，2上
2、，函数ysinx有三个零点()(4)余弦函数ycosx在0，2上的单调减区间是0，.()(5)ysin x在(0，)上是增函数. ()(6)函数ysinx的增区间恰好是ysin(x)的减区间()2.函数y2sin x取得最大值时x的取值集合为 3.函数ysin x的值域为 【经典例题】题型一 求正、余弦函数的单调区间点拨：求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点1.结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间2.在求形如yAsin(x)(A0，0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“x”看作一个整体“z”，即通过求yAsinz的单调区间而求出原函数的单调区间求形如yAcos(x
3、)(A0，0)的函数的单调区间同上3.0后求解；若A0，则单调性相反例1 (1) 求ycos2x函数的单调区间；(2)已知函数f(x)sin1，求函数f(x)的单调递增区间【跟踪训练】1 (1)函数ysin，x的单调递减区间为 (2)求函数y3sin的单调递减区间题型二 三角函数值的大小比较点拨：比较三角函数值大小的方法1.比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较2.比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小(1)sin 196与cos 156；(2)cos
4、与cos.【跟踪训练】2 若asin47，bcos37，ccos47，则a，b，c大小关系为()Aabc Bbca Cbac Dcba题型三 正、余弦函数的最值点拨：三角函数最值问题的3种常见类型及求解方法1.形如yasinx(或yacosx)型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论2.形如yAsin(x)b(或yAcos(x)b)型，可先由定义域求得x的范围，然后求得sin(x)(或cos(x)的范围，最后求得最值3.形如yasin2xbsinxc(a0)型，可利用换元思想，设tsinx，转化为二次函数yat2btc求最值，t的范围需要根据定义域来确定例3已知函数f(x)si
5、n (2x6)12.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)求f(x)在区间0，512上的值域【跟踪训练】3 (1)函数ycos2x2sin x2，xR的值域为 (2)已知函数f(x)1sin2xsinx(0x2)，当x_时，f(x)取得最大值题组四正、余弦函数的对称性例4 (多选)函数f(x)=cos2x+6的图象的一条对称轴方程为()A.x=6 B.x=512 C.x=1112 D.x=-23【跟踪训练】4 已知函数f(x)=cosx2+3,则f(x)的最小正周期是, f(x)图象的对称中心是. 【当堂达标】1.函数y2sinx的最大值及取最大值时x的值分别为()Aymax3，x By
6、max1，x2k(kZ)Cymax3，x2k(kZ) Dymax3，x2k(kZ)2.函数f(x)sin (x6)在-3，2上的最大值与最小值之和是()A12 B12 C1 D13.下列关于函数的图象，说法正确的是（ ）A.关于点对称 B.关于直线对称 C.关于直线对称D.关于点对称4.设函数f(x)ABsinx，当B0，0)单调区间的方法把x看成一个整体，由2kx2k(kZ)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kx2k(kZ)解出x的范围，所得区间即为减区间若0，先利用诱导公式把转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间.2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调
7、区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断3.求三角函数值域或最值的常用方法将y表示成以sinx(或cosx)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.【参考答案】【自主学习】解析式ysin xycos x图象对称中心（k，0），kZ（k+，0），kZ对称轴直线x= k+，kZ直线x= k，kZ值域1,11,1最值x2k，kZ时，ymax1；x2k，kZ时，ymin1x2k，kZ时，ymax1；x2k，kZ时，ymin1单调性在2k，2k，kZ上单调递增，在2k，2k，kZ)上单调递减在2k，2k，kZ上单调递增，在2k，(2k1)，kZ上单调递
8、减【小试牛刀】1.(1)(2)(3)(4) (2)(3)2.解析：当sin x1时，ymax2(1)3，此时x2k，kZ.3. 解析：因为x，所以sin x1，即所求的值域为.【经典例题】例1 解：(1)函数ycos2x的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定：2k2x2k，kZ,2k2x2k，kZ.kxk，kZ，kxk，kZ.函数ycos2x的单调递增区间为，kZ，单调递减区间为，kZ.(2)令u2x，函数ysin u的单调递增区间为，kZ，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以函数f(x)sin1的单调递增区间是，kZ.【跟踪训练】1 解：(1)由2k3x2k(kZ)，得x(
9、kZ)又x，所以函数ysin，x的单调递减区间为，. (2)y3sin3sin，y3sin是增函数时，y3sin是减函数函数ysinx在(kZ)上是增函数，2k2x2k，即kxk(kZ)函数y3sin的单调递减区间为(kZ).例2 解：(1)sin 196sin(18016)sin 16，cos 156cos(18024)cos 24sin 66，0166690，sin 16sin 66，从而sin 16sin 66，即sin 196cos 156.(2)coscoscoscos，coscoscoscos.0，且ycos x在0，上是减函数，coscos，即coscos.【跟踪训练】2 C解析
10、：由题意得sin47sin (9043)cos43，因为ycosx在0，2上单调递减，所以bac.例3解：(1)函数f(x)sin (2x6)12，f(x)最小正周期T22，sin (2x6)1，sin (2x6)1232，当sin (2x6)1时，f(x)max32.(2)当0x512时，62x623，当2x62时，即x3时，f(x)max32，当2x66时，即x0时，f(x)min0，f(x)在区间0，512上的值域为0，32.【跟踪训练】3 (1)4,0 解析：ycos2x2sin x2sin2x2sin x1(sin x1)2.因为1sin x1，所以4y0，所以函数ycos2x2si
11、n x2，xR的值域为4,0(2) 6 解析：令tsinx，则y1t2t(0t1)，对称轴为t12，所以当t12时，函数取得最大值，即sinx12，得x6.例4 BC 解析：令2x+6=k,kZ,解得x=k2-12,kZ.对于A,令k2-12=6,解得k=12Z,故A错误;对于B,令k2-12=512,解得k=1Z,故B正确;对于C,令k2-12=1112,解得k=2Z,故C正确;对于D,令k2-12=-23,解得k=-76Z,故D错误.故选BC.【跟踪训练】4 4;2k+3,0(kZ) 解析：由f(x)=cosx2+3,得T=212=4;令x2+3=k+2,kZ,求得x=2k+3,kZ,可得
12、f(x)图象的对称中心是2k+3,0,kZ.【当堂达标】1.C 解析：y2sinx，当sinx1时，ymax3，此时x2k(kZ)2.B解析：3x2，6x623，12sin (x6)1，最大值与最小值之和为12112.3.C 解析：A：，即关于对称，故错误；B：，即关于对称，故错误；C：，即关于对称，故正确；D：，故错误.故选：C.4. 1解析：根据题意，得解得A，B1.5. 解：(1)coscos，coscoscos，而0cos.即coscos.(2)sin194sin(90104)cos104，而0104160cos160.即sin194cos160.6. 解：y2sin2sin，函数y2sin的单调递增、递减区间分别是函数y2sin的单调递减、递增区间令2kx2k，kZ.即2kx2k，kZ，即函数y2sin的单调递增区间为，kZ.令2kx2k，kZ.即2kx2k，kZ.即函数y2sin的单调递减区间为，kZ.7. 解：(1)因为x，所以2x，从而cos1.所以当cos1，即2x0，x时，ymin341.当cos，即2x，x时，ymax345.综上所述，当x时，ymin1；当x时，ymax5.8. 解：令tsinx，因为x，所以sinx1，即t1.所以y2t22t221，以t为自变量的二次函数在上单调递增，1y，所以原函数的值域为.
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