1、5.4 三角函数的图象与性质5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象【学习目标】课程标准学科素养1.了解正弦函数、余弦函数的图象2.会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题1.直观想象2.数学运算【自主学习】一正弦函数的图象正弦函数的图象叫做 ，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线五点法：在函数ysin x，x0,2的图象上，以下五个点： ， ， 在确定图象形状时起关键作用描出这五个点，函数ysin x，x0,2的图象形状就基本确定了因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图二余弦函数图象1.变换法将正弦函
2、数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示余弦函数ycos x，xR的图象叫做余弦曲线它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线2.五点法：ycos x，x，的五个关键点为： ， ， ，用光滑曲线连接这五个点可得到x，的简图注意：(1)“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法(2)“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)正、余弦函数的图象形状相同，位置不同()(2)正、余弦函数的图象向左、右和上、下无限伸展(
3、)(3)将正弦曲线向右平移个单位就得到余弦曲线()(4)函数ysinx，x的图象与函数ycosx，x0,2的图象的形状完全一致()(5)函数ysinx，x2k，2(k1)kZ，且k0的图象与ysinx，x0,2的图象形状完全一致()2.用五点法作函数ysin 2x，x0，的简图的五个点的横坐标为()A0，2 B0，C0，2，3，4 D0，【经典例题】题型一 用“五点法”作三角函数图象点拨：用“五点法”画函数yAsinxb(A0)在0,2上的简图的步骤1.列表x02sinx01010yy1y2y3y4y52.描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，(，y3)，(2，y5)3.连线：
4、用光滑的曲线将描出的五个点连接起来例1 用“五点法”作出下列函数的简图：(1)ysin x(0x2)； (2)y1cos x(0x2)【跟踪训练】1 用“五点法”作出函数ycos，x的图象题型二 利用正、余弦函数的图象解简单的三角不等式点拨：用三角函数图象解三角不等式的步骤1.作出相应的正弦函数或余弦函数在0,2上的图象(也可以是，上的图象)；2.在0,2上或(，上)写出适合三角不等式的解集；3.根据公式一写出定义域内的解集例2 利用正弦曲线，求满足sin x的x的集合【跟踪训练】2 求下列函数的定义域(1)ylg(cosx)；(2)y.题型三 利用正弦(余弦)函数图象解决图象交点问题点拨：方
5、程根(或个数)的两种判断方法1.代数法：直接求出方程的根，得到根的个数2.几何法：(1)方程两边直接作差构造一个函数，作出函数的图象，利用对应函数的图象，观察与x轴的交点个数，有几个交点原方程就有几个根(2)转化为两个函数，分别作这两个函数的图象，观察交点个数，有几个交点原方程就有几个根 例3 方程xsinx0的根有()A0个 B1个 C2个 D无数个【跟踪训练】3 方程sin xlg x的解的个数是_【当堂达标】1.对于余弦函数ycosx的图象，有以下三项描述：向左向右无限延伸；与x轴有无数多个交点；与ysinx的图象形状一样，只是位置不同其中正确的有()A0个 B1个 C2个 D3个2.函
6、数y1sinx，x0,2的大致图象是() 3.使不等式2sinx0成立的x的取值集合是()A. B.C. D.4.方程x2cos x0的实数解的个数是_5.若方程sinx4m1在0，2上有解，则实数m的取值范围是_6.求下列函数的定义域(1)y ；(2)y.7.在0，2内用“五点法”作出y2cosx3的简图【课堂小结】函数ysin x(xR)ycos x (xR)图象五个关键点 (0，0)， (，0)， (2，0)(0，1)， ，(，1)， ，(2，1)曲线的关系余弦曲线可以看作是将正弦曲线向左平移2个单位长度得到的或向右平移32个单位长度得到的【参考答案】【自主学习】一正弦曲线 (0,0)
7、(，0) (2，0)二(，1) (0,1) (，1)【小试牛刀】1.(1)(2)(3) (4)(5)2.B【经典例题】例1 解：利用“五点法”作图(1)列表：x02sin x01010sin x01010描点作图，如图(2)列表：x02cos x101011cos x21012描点作图，如图【跟踪训练】1 解：找出五个关键点，列表如下：ux02xycosu10101描点并将它们用光滑的曲线连接起来例2 解：首先作出ysin x在0,2上的图象如图所示，作直线y，根据特殊角的正弦值，可知该直线与ysin x，x0,2的交点横坐标为和；作直线y，该直线与ysin x，x0,2的交点横坐标为和.观察
8、图象可知，在0,2上，当x，或x时，不等式sin x成立所以0，即cosx0.由余弦函数图象可知满足条件的x为2kx2k，kZ.所以原函数定义域为.(2)为使函数有意义，则需要满足2sinx0，即sinx.由正弦函数图象可知满足条件的x为2kx2k，kZ.所以原函数定义域为.例3 B 解：设f(x)x，g(x)sinx，在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，如图所示由图知f(x)和g(x)的图象仅有一个交点，则方程xsinx0仅有一个根【跟踪训练】3 3 解：用五点法画出函数ysin x，x0,2的图象，再依次向左、右连续平移2个单位，得到ysin x的图象描出点，(1,0)，(10
9、,1)并用光滑曲线连接得到ylg x的图象，如图所示由图象可知方程sin xlg x的解有3个【当堂达标】1.D 解析：如图所示为ycosx的图象可知三项描述均正确2.B 解析：列表x02sinx010101sinx10121描点与选项比较，可知选B.3.C解析：2sinx0，sinx，作出ysinx在内的图象，如图所示，则满足条件的x.使不等式成立的x的取值范围为.4.2 解析：作函数ycos x与yx2的图象，如图所示，由图象可知原方程有两个实数解5. -12，0 解析：由正弦函数的图象，知当x0，2时，sinx1，1，要使得方程sinx4m1在x0，2上有解，则14m11，故12m0.6.(1)由得所以2kx2k，kZ，即函数y的定义域为(kZ) (2)根据函数表达式可得在数轴上表示如图所示由图示可得，函数定义域为5，0，7.解：由条件列表如下：x023222cosx202022cosx313531描点、连线得出函数y2cosx3(0x2)的图象如图所示
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