1、专题检测（十四） 直线与圆A组“633”考点落实练一、选择题1.“ab4”是“直线2xay10与直线bx2y20平行”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析：选C因为两直线平行，所以斜率相等，即，可得ab4，又当a1，b4时，满足ab4，但是两直线重合，故选C.2.圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是()A.相离 B.相交C.外切 D.内切解析：选B圆O1：x2y22x0，即(x1)2y21，圆心是O1(1，0)，半径是r11，圆O2：x2y24y0，即x2(y2)24，圆心是O2(0，2)，半径是r22，因为|O1O2|，
2、故|r1r2|O1O2|r1r2|所以两圆的位置关系是相交.3.已知直线l1过点(2，0)且倾斜角为30，直线l2过点(2，0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为()A.(3，) B.(2，)C.(1，) D.解析：选C直线l1的斜率k1tan 30，因为直线l2与直线l1垂直，所以直线l2的斜率k2，所以直线l1的方程为y(x2)，直线l2的方程为y(x2)，联立解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，).4.(2019江苏徐州期末)若圆(x1)2y2m与圆x2y24x8y160内切，则实数m的值为()A.1 B.11C.121 D.1或121解析：选D圆(x1)2y2m的
3、圆心坐标为(1，0)，半径为；圆x2y24x8y160，即(x2)2(y4)236，故圆心坐标为(2，4)，半径为6.由两圆内切得 |6|，解得m1或m121.故选D.5.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线xky10与圆C：x2y24相交于A，B两点，若点M在圆C上，则实数k的值为()A.2 B.1C.0 D.1解析：选C法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k21)y22ky30，则4k212(k21)0，y1y2，x1x2k(y1y2)2，因为，故M，又点M在圆C上，故4，解得k0.法二：由直线与圆相交于A，B两点，且点M在圆C上，得圆心C(0，0)到直线xky10的距离为
4、半径的一半，为1，即d1，解得k0.6.(2019广东省广州市高三测试)已知圆C：x2y21，点A(2，0)及点B(2，a)，若直线AB与圆C没有公共点，则a的取值范围是()A.(，1)(1，)B.(，2)(2，)C.D.(，4)(4，)解析：选C由点A(2，0)及点B(2，a)，得kAB，所以直线AB的方程为y(x2)，即ax4y2a0.因为直线AB与圆C没有公共点，所以1，解得a或a，所以a的取值范围是，故选C.二、填空题7.(2019贵阳市第一学期监测)已知直线l1：y2x，则过圆x2y22x4y10的圆心且与直线l1垂直的直线l2的方程为_.解析：由题意，圆的标准方程为(x1)2(y2
5、)24，所以圆的圆心坐标为(1，2)，所以所求直线的方程为y2(x1)，即x2y30.答案：x2y308.已知直线l过直线l1：x2y30与直线l2：2x3y80的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则直线l的方程为_.解析：由得所以直线l1与l2的交点为(1，2).显然直线x1不满足P(0，4)到直线l的距离为2.设直线l的方程为y2k(x1)，即kxy2k0，因为P(0，4)到直线l的距离为2，所以2，所以k0或k.所以直线l的方程为y2或4x3y20.答案：y2或4x3y209.(2019广东六校第一次联考)已知点P(1，2)及圆(x3)2(y4)24，一光线从点P出发，经x轴上一
6、点Q反射后与圆相切于点T，则|PQ|QT|的值为_.解析：点P关于x轴的对称点为P(1，2)，如图，连接PP，PQ，由对称性可知，PQ与圆相切于点T，则|PQ|QT|PT|.圆(x3)2(y4)24的圆心为A(3，4)，半径r2，连接AP，AT，则|AP|2(13)2(24)252，|AT|r2，所以|PQ|QT|PT|4.答案：4三、解答题10.已知圆(x1)2y225，直线axy50与圆相交于不同的两点A，B.(1)求实数a的取值范围；(2)若弦AB的垂直平分线l过点P(2，4)，求实数a的值.解：(1)把直线axy50代入圆的方程，消去y整理，得(a21)x22(5a1)x10，由于直线
7、axy50交圆于A，B两点，故4(5a1)24(a21)0，即12a25a0，解得a或a0，b0)，即bxayab0，由直线l与圆O相切，得，即，则|DE|2a2b22(a2b2)48，当且仅当ab2时取等号，此时直线l的方程为xy20.12.已知A(2，0)，直线4x3y10被圆C：(x3)2(ym)213(m3)所截得的弦长为4，且P为圆C上任意一点.(1)求|PA|的最大值与最小值；(2)圆C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.解：(1)直线4x3y10被圆C：(x3)2(ym)213(m3)所截得的弦长为4，圆心到直线的距离d1.m3，m2，|AC|，|PA|
8、的最大值与最小值分别为，.(2)由(1)可得圆C的方程为(x3)2(y2)213，令x0，得y0或4；令y0，得x0或6，圆C与坐标轴相交于三点M(0，4)，O(0，0)，N(6，0)，MON为直角三角形，斜边|MN|2，MON内切圆的半径为5.B组大题专攻强化练1.已知点M(1，0)，N(1，0)，曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍.(1)求曲线E的方程；(2)已知m0，设直线l1：xmy10交曲线E于A，C两点，直线l2：mxym0交曲线E于B，D两点.当CD的斜率为1时，求直线CD的方程.解：(1)设曲线E上任意一点的坐标为(x，y)，由题意得 ，整理得x2y24x10，即
9、(x2)2y23为所求.(2)由题意知l1l2，且两条直线均恒过点N(1，0).设曲线E的圆心为E，则E(2，0)，设线段CD的中点为P，连接EP，ED，NP，则直线EP：yx2.设直线CD：yxt，由解得点P，由圆的几何性质，知|NP|CD| ，而|NP|2，|ED|23，|EP|2，所以3，整理得t23t0，解得t0或t3，所以直线CD的方程为yx或yx3.2.已知点A(1，a)，圆x2y24.(1)若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为2，求a的值.解：(1)由过点A的圆的切线只有一条，得点A在圆上，故12a24，解得a
10、.当a时，A(1，)，根据直线的点斜式方程，易知所求的切线方程为xy40；当a时，A(1，)，根据直线的点斜式方程，易知所求的切线方程为xy40.综上所述，当a时，切线方程为xy40；当a时，切线方程为xy40.(2)设直线方程为xyb，由于直线过点A，则1ab，即ab1，又圆心(0，0)到直线xyb的距离d.所以4，则b，因此ab11.3.在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围.解：(1)因为圆心在直线
11、l：y2x4上，也在直线yx1上，所以解方程组得圆心C(3，2)，又因为圆的半径为1，所以圆的方程为(x3)2(y2)21，又因为点A(0，3)，显然过点A，圆C的切线的斜率存在，设所求的切线方程为ykx3，即kxy30，所以1，解得k0或k，所以所求切线方程为y3或yx3，即y30或3x4y120.(2)因为圆C的圆心在直线l：y2x4上，所以设圆心C为(a，2a4)，又因为圆C的半径为1，则圆C的方程为(xa)2(y2a4)21.设M(x，y)，又因为|MA|2|MO|，则有2，整理得x2(y1)24，其表示圆心为(0，1)，半径为2的圆，设为圆D，所以点M既在圆C上，又在圆D上，即圆C与
12、圆D有交点，所以21 21，解得0a，所以圆心C的横坐标a的取值范围为.4.在直角坐标系xOy中，曲线yx2mx2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1)，当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现ACBC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.解：(1)不能出现ACBC的情况，理由如下：设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足x2mx20，所以x1x22.又C的坐标为(0，1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现ACBC的情况.(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为yx2.由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂线方程为x.联立可得所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r.故圆在y轴上截得的弦长为2 3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.