1、专题检测（十六） 圆锥曲线中的定值、定点、证明问题大题专攻强化练1(2019全国卷)已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程解：(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x2y1.由于yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1.整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，y1y2t(x1x2)12t21.设M
2、为线段AB的中点，则M.由于，而(t，t22)，与向量(1，t)平行，所以t(t22)t0.解得t0或t1.当t0时，|2，所求圆的方程为x24；当t1时，|，所求圆的方程为x22.2(2019济南市学习质量评估)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，右焦点为F，且该椭圆过点.(1)求椭圆C的方程；(2)当动直线l与椭圆C相切于点A，且与直线x相交于点B时，求证：FAB为直角三角形解：(1)由题意得，1，又a2b2c2，所以b21，a24，即椭圆C的方程为y21.(2)证明：由题意可得直线l的斜率存在，设l：ykxm，联立得得(4k21)x28kmx4m240，判别式64k2m216(4k21)
3、(m21)0，得m24k210.设A(x1，y1)，则x1，y1kx1mm，即A.易得B，F(，0)，则，110，所以，即FAB为直角三角形，得证3.如图，设点A，B的坐标分别为(，0)，(，0)，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点P的轨迹为C，点M，N是轨迹C上不同的两点，且满足APOM，BPON，求证：MON的面积为定值解：(1)设点P的坐标为(x，y)，由题意得，kAPkBP(x)，化简得，点P的轨迹方程为1(x)(2)证明：由题意可知，M，N是轨迹C上不同的两点，且APOM，BPON，则直线OM，ON的斜率必存在且不为0，kOMkONkAP
4、kBP.当直线MN的斜率为0时，设M(x0，y0)，N(x0，y0)，则得所以SMON|y0|2x0|.当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为xmyt，代入1，得(32m2)y24mty2t260，(*)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1，y2是方程(*)的两根，所以y1y2，y1y2，又kOMkON，所以，即2t22m23，满足0.又SMON|t|y1y2|，所以SMON.综上，MON的面积为定值，且定值为.4(2019福州市质量检测)已知抛物线C1：x22py(p0)和圆C2：(x1)2y22，倾斜角为45的直线l1过C1的焦点，且l1与C2相切(1)求p的值；(2)动点M
5、在C1的准线上，动点A在C1上，若C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程解：(1)依题意，设直线l1的方程为yx，因为直线l1与圆C2相切，所以圆心C2(1，0)到直线l1：yx的距离d.即，解得p6或p2(舍去)所以p6.(2)法一：依题意设M(m，3)，由(1)知抛物线C1的方程为x212y，所以y，所以y，设A(x1，y1)，则以A为切点的切线l2的斜率为k，所以切线l2的方程为yx1(xx1)y1.令x0，则yxy112y1y1y1，即B点的坐标为(0，y1)，所以(x1m，y13)，(m，y13)，所以(x12m，6)，所以(x1m，3)设N点坐标为(x，y)，则y3，所以点N在定直线y3上法二：设M(m，3)，由(1)知抛物线C1的方程为x212y，设l2的斜率为k，A，则以A为切点的切线l2的方程为yk(xx1)x，联立得，x212，因为144k248kx14x0，所以k，所以切线l2的方程为yx1(xx1)x.令x0，得B点坐标为，所以，所以(x12m，6)，所以(x1m，3)，所以点N在定直线y3上