1、第二章函数概念与基本初等函数第一讲函数及其表示练好题考点自测1.下列说法中正确的个数是()(1)f(x)=1x-4+3-x是一个函数.(2)已知f(x)=m(xR),则f(m3)=m3.(3)y=ln x2与y=2ln x表示同一函数.(4)f(x)=x2+1,-1x1,x+3,x1或x1或x0,则f(f(9)=()A.12B.-12C.32D.-325.2020北京,11,5分函数f(x)=1x+1+ln x的定义域是.6.福建高考,4分理若函数f(x)=-x+6,x2,3+logax,x2(a0,且a1)的值域是4,+),则实数a的取值范围是.拓展变式1.已知函数f(x)=1x(x1),则
2、实数b的值为.3.(1)已知函数f(x)=2x+1,x0,则满足f(x)+f(x-12)1的x的取值范围是.(3)2016北京,14,5分理设函数f(x)=x3-3x,xa,-2x,xa.若a=0,则f(x)的最大值为;若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是.4.2017山东,15,5分理若函数exf(x)(e=2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.f(x)=2-xf(x)=3-xf(x)=x3f(x)=x2+25.函数y=f(x)的图象是如图2-1-3所示的折线段OAB,其中A(1,2),B(3,
3、0),函数g(x)=xf(x), 那么函数g(x)的值域为()A.0,2B.0,94 C.0,32D.0,4答 案第一讲函数及其表示1.B对于(1),定义域是空集,不满足函数的概念,故(1)错误;对于(2),f(x)是常数函数,所以f(m3)=m,故(2)错误;对于(3),两个函数的定义域不同,故不是同一函数,(3)错误;对于(4),结合分段函数可知(4)正确.所以正确命题的个数为1,故选B.2.D对于A,f(x)大于等于0恒成立,与图象不符,排除;对于B,当x-1时,f(x)1时,f(x)0时,y=10lg x=x,故函数的值域为(0,+).只有选项D符合.解法二易知函数y=10lg x中x
4、0,排除选项A,C;因为10lg x必为正值,所以排除选项B.选D.4. Df(x)=sin6x,x0,log13x,x0,f(9)=log139=-2,则f(f(9)=f(-2)=sin (-3)=-32,故选D.5.(0,+)函数f(x)=1x+1+ln x的自变量满足x+10,x0,x0,即定义域为(0,+).6.(1,2因为f(x)=-x+6,x2,3+logax,x2,所以当x2时, f(x)4.又函数f(x)的值域是4,+),所以a1,3+loga24,解得1a2,所以实数a的取值范围是(1,2.1.(1)1x+1(x0),x2+1(x0)当x0时,f(x)=1x,则g(f(x)=
5、1x+1;当x0时,f(x)=x2,则g(f(x)=x2+1.g(f(x)=1x+1(x0),x2+1(x0).(2)1x+1(x-1),(x+1)2(x-1)令g(x)=x+10,得x-1,则此时f(g(x)=1x+1.令g(x)=x+10,得x-1,则此时f(g(x)=(x+1)2.f(g(x)=1x+1(x0的解集为(2,+),由2ax-10可得x12a,12a=2,a=-1.(2)3f(x)=12(x-1)2+1,x1,b且b1,f(1)=1, f(b)=12(b-1)2+1,函数图象的对称轴为直线x=1,且f(x)在1,b上单调递增.函数的值域为1,12(b-1)2+1.由已知得12
6、(b-1)2+1=b,解得b=3或b=1(舍).3.(1)542依题意知f(-2)=2-2+1=54.因为f(0)=20+1=2,所以f(f(0)=f(2)=22+2a=4a,解得a=2.(2)(-14,+)当x0时,f(x)+f(x-12)=x+1+x-12+1=2x+321,即-14x0;当01恒成立;当x12时,f(x)+f(x-12)=2x+2x-121恒成立.综上所述,x的取值范围是(-14,+).(3) 2若a=0,则f(x)=x3-3x,x0,-2x,x0.当x0时,-2x0,得x-1,令f(x)0,得-1a无最大值,由图象可知-2a2,解得a0,故函数exf(x)=ex2-x在
7、(-,+)上为增函数,故符合要求;对于,exf(x)=ex3-x,故exf(x)=(ex3-x)=ex3-x(1-ln 3)0,故函数exf(x)=ex(x2+2)在(-,+)上为增函数,故符合要求.综上,具有M性质的函数的序号为.5.B由题图可知,直线OA的方程是y=2x;因为kAB=0-23-1=-1,所以直线AB的方程为y=-(x-3)=-x+3.所以f(x)=2x,0x1,-x+3,1x3,所以g(x)=xf(x)=2x2,0x1,-x2+3x,1x3.当0x1时,g(x)=2x2,此时函数g(x)的值域为0,2;当1x3时,g(x)=-x2+3x=-(x-32)2+94,显然,当x=32时,函数g(x)取得最大值94;当x=3时,函数g(x)取得最小值0.此时函数g(x)的值域为0,94.综合上述,函数g(x)的值域为0,94.故选B.