1、河北省张家口市2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）第卷（选择题）一、选择题1. 已知集合，则中元素的个数为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 无数个【答案】A【解析】【分析】根据分式不等式的解法求出集合，再利用集合的交运算即可求解.【详解】由，所以，所以中元素的个数为.故选：A2. 命题“，使得”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.【详解】命题“，使得”是全称命题，故它的的否定是特称命题，“改量词，否定结论”，即，.故选：B.3. 下列各组函数表示函数相同的是（ ）A. ，B. ，C. ，D.
2、，【答案】D【解析】【分析】逐一判断选项中的两个函数的三要素是否都相同即得结果.【详解】两个函数的三要素（定义域、值域、对应关系）均相同时两个函数相同.选项A中，定义域和值域均为R，定义域R，值域，故对应关系、值域不同，两函数不相同；选项B中，定义域，值域，定义域和值域均为R，故定义域、值域不同，两函数不相同；选项C中，两函数对应关系不相同，定义域均为R，即推出值域也不同，故两函数不相同；选项D中，故两函数对应关系相同，定义域均为R，即推出值域也相同，故两函数相同.故选：D.点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于判断两个函数的定义域和对应关系是否相同，即确定函数是否相同.4. 若，则的解析式为（
3、 ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用换元法可得答案.【详解】，令，则 ，故选：B.5. 函数的定义域为，则实数的范围是（ ）A. B. C. 或D. 【答案】D【解析】【分析】由恒成立求范围即可.【详解】由题意知恒成立当时，符合题意当时，可得当时，不合题意故有故选：D6. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先求函数的定义域，再求的定义域.【详解】的定义域是，则的范围是，所以的定义域是，所以的定义域满足，解得：，即的定义域是.故选：C7. 若函数，用表格法表示如下：123321123132则满足的值是（ ）A. 1
4、B. 2C. 3D. 1或2【答案】B【解析】【分析】分别求出时的值，再由大小关系得出答案.【详解】；则满足的值是故选：B8. 若正数满足，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知条件得出，由可得出，将代入所求代数式并化简得出，利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.【详解】正数、满足，则，可得，所以，当且仅当时，即当时取等号因此，的最小值为.故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须
5、把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方二、选择题9. 已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】设，依次代入比较系数即可求解.【详解】设()，则，解得或，或.故选：AD.10. 若关于的不等式的解集是，则下列说法正确的是（ ）A. B. 的解集是C. D. 的解集是【答案】AB【解析】【分析】首先利用不等式和对应方程的关系，可得，再判断选项.【详解】因为的解集是，所以，且的两个实数根是或，即，解得：，故A正确；C不
6、正确；，即，解得：，故B正确；，即，解得：，故D不正确.故选：AB【点睛】关键点点睛：本题考查一元二次方程和不等式的关系，关键是根据根与系数的关系求出的值.11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数例如：，下列命题正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】令，可判定A、B不正确；设，其中为的整数部分，为小数部分，结合“高斯函数”，可判定C、D正确.【详解】对于A中，例如，所以不正确；对于B中，例如，所以不正确；设，其中为的整数部分，为小数部分，即，对于C中，所以是正
7、确的；对于D中，若，可得，；若，可得，所以D是正确的.故选：CD.【点睛】对于函数的新定义试题的求解：1、根据函数的定义，可通过举出反例，说明不正确；2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义进行推理、论证求解.12. 函数的最大值为，若，使得成立，则满足条件的正整数可能是（ ）A. 4B. 1C. 2D. 3【答案】BC【解析】【分析】首先利用基本不等式求函数的最大值，即求得，再将不等式转化为时，能成立，转化为求函数的最大值.【详解】，当时，所以，所以最大值是2，即，若，使得成立，即时，能成立，即，满足条件的是BC.故选：BC第卷（非选择题）三、填空题13. 已知函数，若，则的值是_【答案】
8、或8【解析】【分析】分别讨论和时方程的解即得结果.【详解】依题意，时，得，即或（舍去），即的值是-5；时，得，即的值是8.综上，的值是-5或8.故答案为：-5或8.14. 不等式的解集是_【答案】【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法即可求解.【详解】，解得或.所以不等式的解集为.故答案为：15. 已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】令，可得，作出的图象，使与之有三个交点即可求解.【详解】令，可得，作出的图象，如下：由图可知，当与的图象有三个不同的交点时，则，所以的取值范围是.故答案为：16. 已知集合关于的方程有整数解，集合A满足条件：A是非空集合且；若，则
9、则所有这样的集合A的个数为_【答案】15【解析】【分析】先依题意化简集合M，再根据条件确定集合A是由互为相反数的四组数字构成的非空集合，即得这样的集合的个数.【详解】设，为方程的两个根，则，当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；，由条件知且，又由条件知A是有一些成对的相反数组成的集合所以的4对相反数共能组成个不同的非空集合A故答案：15.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于明确题中条件要求集合A是由互为相反数的四组数字构成的非空集合，即计算集合个数突破难点.四、解答题17. 设集合，（1）若，判断集合与的关系；（2）若，求实数组成的集合【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先解方程化简
10、两个集合，再根据元素判断两个集合的包含关系即可；（2）先判断，再讨论a是否为零，即B是否为空集时满足要求，列式解得参数a即得结果.【详解】解：（1）由的解为或4，故，当时，；（2），故，分如下两种情况讨论：当时，符合题意；当时，由得，所以或，解得或故实数组成的集合18. 已知函数的定义域为集合，（1）求，；（2）若，求实数的范围【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）求出函数的定义域得出集合，再利用集合的交、补运算即可求解. （2）根据题意可得，然后讨论或，利用集合的包含关系即可求解.【详解】解：（1）由，得解得，所以或，又所以（2）由，分两种情况讨论，时，得时，得，综上19. （1）解
11、不等式；（2）函数的函数值是否能取到2，请给出理由【答案】（1）；（2）函数值取不到2，理由见解析【解析】【分析】（1）利用分式不等式的解法即可求解.（2）令，求在上的实根，即可判断.详解】解：（1）等价于或者得或所以不等式的解集为 （2），令，即求在上的实根，解得不满足，所以函数值取不到220. 设的最小值为（1）求值；（2）设，求的最小值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先利用零点分段讨论取绝对值，再计算每段的取值情况，即得到最小值m的值；（2）利用，妙用“1”的代换拼凑，利用基本不等式求得最小值即可.【详解】解：（1）当时，当时，当时，所以的值域为，当时，最小值为；（2）由题意
12、知，所以，当且仅当时，即，等号成立，所以最小值为【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立.（1）积定，利用，求和的最小值；（2）和定，利用，求积的最大值；（3）妙用“1”拼凑基本不等式求最值.21. 如图是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为.（1）试求函数的解析式；（2）画出函数图象.【答案】（1）；（2）图像见解析【解析】【分析】在求的解析式时，关键是要根据图象，对的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图象【详解】解：（1）当时，如图，设直线与分别交于两点，则，又，（2）当时，如图，设直线与分别交于两点，则，
13、又，（3）当时，综上所述；（2）图像如图：【点睛】分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的，处理分段函数的问题时，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段，从而选相应的关系式对于分段函数，注意处理好各段的端点22. 已知一条长度为1的铁丝，首尾相连形成一个直角三角形，求：（1）斜边最短是多少；（2）该直角三角形内切圆半径最大值是多少【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设直角三角形两条直角边为，可得，再利用基本不等式即可求解. （2）直角三角形的内切圆半径，从而可得，利用基本不等式求出，即求.【详解】解：（1）设直角三角形两条直角边为，（，），斜边长为，当且仅当时取等号成立（2）由直角三角形的内切圆半径，又，即，当且仅当时取等号成立所以该直角三角形内切圆半径最大值是【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方