1、第7节解三角形的应用考试要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为(如图2).3.方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30，北偏西45等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求
2、解.1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)东北方向就是北偏东45的方向.()(2)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.()(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.()答案(1)(2)(3)(4)解析(2)；(3)俯角是视线与水平线所构成的角.2.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10 B.北偏西10C.南偏东80 D.南偏西80答案D解析由条件及图可知，ACBA40，又BCD60，所以C
3、BD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80.3.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为()A.50 m B.50 mC.25 m D. m答案A解析在ABC中，由正弦定理得，又CBA1804510530，AB50(m).4.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角45，在D点测得塔顶A的仰角30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为()A.10 m B.20 mC.20 m D.40 m答案D解析设电视塔的高度为x m
4、，则BCx，BDx.在BCD中，由余弦定理得3x2x2402240xcos 120，即x220x8000，解得x20(舍去)或x40.故电视塔的高度为40 m.5.海上有A，B，C三个小岛，A，B相距5海里，从A岛望C和B成45视角，从B岛望C和A成75视角，则B，C两岛间的距离是_海里.答案5解析由题意可知ACB60，由正弦定理得，即，得BC5.考点一解三角形应用举例角度1测量距离问题例1 (2022廊坊模拟)如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南.天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1 000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭
5、天之处.某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB60米，BC60米，CD40米，ABC60，BCD120，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)()(参考数据：1.414，1.732，2.236，2.646)A.39米 B.43米 C.49米 D.53米答案D解析在ACB中，AB60，BC60，ABC60，所以AC60，在CDA中，AD2AC2CD22ACCDcos 60602402260402 800，所以AD2053(米).感悟提升距离问题的类型及解法(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.(2)解法：选择合适的辅助测量点，
6、构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.角度2测量高度问题例2 (2021全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A，B，C满足ACB45，ABC60.由C点测得B点的仰角为15，BB与CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45，则A，C两点到水平面ABC的高度差AACC约为(1.732)()A.346 B.373 C.446 D.473答案B解析如图所示，根据题意过C作CE
7、CB，交BB于E，过B作BDAB，交AA于D，则BE100，CBCE.在ACB中，CAB180ACBABC75，则BDAB，又在B点处测得A点的仰角为45，所以ADBD，所以高度差AACCADBE100100100100100(1)100373.感悟提升1.在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.2.准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.3.运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.角度3测量角度问题例3 已知岛A南偏西38方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度
8、向岛屿北偏西22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？解如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC0.5x，AC5，依题意，BAC1803822120，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos 120，所以BC249，所以BC0.5x7，解得x14.又由正弦定理得sinABC，所以ABC38，又BAD38，所以BCAD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.感悟提升1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用
9、正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.2.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.训练1 (2022宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则图中海洋蓝洞的口径为_.答案80解析由已知得，在ADC中，ACD15，ADC150，所以DAC15，由正弦定理得AC40().在BCD中，BDC15，BCD135，所以DBC30
10、，由正弦定理，得BC160sin 1540().在ABC中，由余弦定理，得AB21 600(84)1 600(84)21 600()()1 600161 60041 6002032 000，解得AB80，故图中海洋蓝洞的口径为80.考点二求解平面几何问题例4 (2021新高考八省联考)在四边形ABCD中，ABCD，ADBDCD1.(1)若AB，求BC；(2)若AB2BC，求cosBDC.解(1)如图所示，在ABD中，由余弦定理可知，cosABD.ABCD，BDCABD，即cosBDCcosABD.在BCD中，由余弦定理可得，BC2BD2CD22BDCDcosBDC1212211，BC.(2)设
11、BCx，则AB2BC2x.由余弦定理可知，cosABDx，cosBDC.ABCD，BDCABD，即cosBDCcosABD.联立，可得x，整理得x22x20，解得x11，x21(舍去).将x11代入，解得cosBDC1.感悟提升平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.训练2 如图，在ABC中，点P在边BC上，C，AP2，ACPC4.(1)求APB；(2)若ABC的面积为，求sinPAB.解(1)在APC中，设ACx，因为ACPC4，所以PC，又因为C，AP2
12、，由余弦定理得AP2AC2PC22ACPCcos ，即22x22xcos ，解得x2，所以ACPCAP，此时APC为等边三角形，所以APB.(2)由SABCACBCsin ，解得BC5，则BP3，作ADBC交BC于D，如图所示.由(1)知，在等边APC中，AD，PD1.在RtABD中，AB.在ABP中，由正弦定理得，所以sinPAB.考点三三角函数与解三角形的交汇问题例5 (2022青岛质检)已知函数f(x)12sin xcos x2cos2xm在R上的最大值为3.(1)求m的值及函数f(x)的单调递增区间；(2)若锐角ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(A)0，求的取值范围.
13、解(1)f(x)1sin 2x(1cos 2x)m(sin 2xcos 2x)m2sinm.由已知得2m3，所以m1，因此f(x)2sin1.令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.因此函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由已知得2sin10，sin，由0A得2A.因此2A，所以A.由正弦定理得.因为ABC为锐角三角形，所以解得C，因此tan C，那么2.感悟提升解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.训练3 (2021上海杨浦一模)设常数kR，f(x)kcos2xsin xcos
14、x，xR.(1)若f(x)是奇函数，求实数k的值；(2)设k1，ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)1，a，b3，求ABC的面积S.解(1)由题意得f(0)k0.检验：f(x)sin xcos x对任意xR都有f(x)sin(x)cos(x)sin xcos xf(x)，所以函数f(x)是奇函数，k0.(2)由f(A)cos2Asin Acos A1，得sin Acos Asin2A，sin A0，cos Asin A，即tan A，A是三角形的内角，A，由余弦定理得cos A，即，整理得c23c20，解得c1或c2，经检验，满足题意，所以Sbcsin A或.1.在相距2
15、 km的A，B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离为()A. km B. km C. km D.2 km答案A解析如图，在ABC中，由已知可得ACB45，AC2(km).2.如图，在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30，60，则塔高为()A. m B. mC. m D. m答案A解析设山顶为A，塔底为C，塔顶为D，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点B(图略)，则易得AB，BDABtan 30tan 30(m)，所以CDBCBD200(m).3.如图，设A，B两点在河的两岸，在A所在河岸边选一定点C，测量AC的距离为50 m，ACB30，
16、CAB105，则可以计算A，B两点间的距离是()A.25 m B.50 mC.25 m D.50 m答案A解析在ABC中，ACB30，CAB105，所以ABC1803010545，由正弦定理，得AB25 m.4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD等于()A.30 B.45 C.60 D.75答案B解析依题意可得AD20 m，AC30 m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.5.(2022东北三省四市教研联
17、合体模拟)圣索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(1515)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30，则小明估算索菲亚教堂的高度为()A.20 m B.3
18、0 mC.20 m D.30 m答案D解析由题意知，CAM45，AMC105，所以ACM30.在RtABM中，AM，在ACM中，由正弦定理得，所以CM，在RtDCM中，CDCMsin 6030.6.(多选)如图，ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，ABC为钝角，BDBA，cos 2ABC，c2，b，则下列结论正确的有()A.sin AB.BD2C.53D.CBD的面积为答案AC解析由cos 2ABC，得2cos2ABC1，又ABC为钝角，解得cosABC，由余弦定理得a244a，解得a2，可知ABC为等腰三角形，即AC，所以cosABCcos 2A(12sin2A)，解得
19、sin A，故A正确；可得cos A，在RtABD中，cos A，得AD，可得BD1，故B错误，CDbAD，可得，可得53，故C正确，所以SBCD2，故D错误.综上知，应选AC.7.(2021齐齐哈尔模拟)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若a2，tan A，则的取值范围是_.答案(2，4)解析由已知得sin A(sin Asin C)cos A(cos Acos C)，cos2Asin2Asin Asin Ccos Acos C，cos 2Acos(AC)cos B.ABC是锐角三角形，B2A且02A，03A，A.a2，(2，4).8.(2021浙江卷)在ABC中，B6
20、0，AB2，M是BC的中点，AM2， 则AC_；cos MAC_.答案2解析由B60，AB2，AM2，及余弦定理可得BM4，因为M为BC的中点，所以BC8.在ABC中，由余弦定理可得AC2AB2BC22BCABcos B46428252，所以AC2，所以在AMC中，由余弦定理得cosMAC.9.(2021聊城二模)如图是某商业小区的平面设计图，初步设计该小区边界轮廓是半径为200米，圆心角为120的扇形AOB.O为南门位置，C为东门位置，小区里有一条平行于AO的小路CD，若OD米，则圆弧AC的长为_米.答案50解析连接OC，因为CDOA，所以DCOCOA，CDO180DOA18012060.在
21、OCD中，由正弦定理可得，即，则sinDCO，因为DCOCOA，且0COA120，所以DCOCOA45，所以20050米.10.(2021烟台模拟)在ADC，SABC2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中.如图，在平面四边形ABCD中，ABC，BACDAC，_，CD2AB4，求AC.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.解若选择，设BACCAD，则0，BCA，在ABC中，由正弦定理得，即，所以AC，在ACD中，即，所以AC，所以，解得2sin cos ，又0，所以sin ，所以AC2.若选择，SABCABBCsinABC2BCsin 2，所以BC2，由余弦定理可得AC2AB2BC
22、22ABBCcosABC4822220，所以AC2.11.(2021长沙二模)已知函数f(x)2cos2cos1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)2，b2，ABC的面积为3，求ABC外接圆的面积.解(1)f(x)2cos2 cos1cos xsin x2sin，因为1，T，所以T2.(2)f(A)2sin2，0A，A，b2，ABC的面积Sbcsin A2c3，c6.由余弦定理得cos A，又a0，a2.设ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理得2R，故R，从而SR2.12.(2021全国乙卷)魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量
23、的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB()A.表高 B.表高C.表距 D.表距答案A解析因为FGAB，所以，所以GCCA.因为DEAB，所以，所以EHAH.又DEFG，所以GCEH(CAAH)HC(HGGC)(EGEHGC).由题设中信息可得，表目距的差为GCEH，表高为DE，表距为EG，则上式可化为，表目距的差(表距表目距的差)，所以AB(表距表目距的差)表高，故选A.13.(2022苏北四市调研)如
24、图，某湖有一半径为100 m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200 m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足ABAC，BAC90.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设AOB.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为_m2.答案10 00025 000解析在OAB中，AOB，OB100，OA200，AB2OB2OA22OBOAcosAOB，AB100，SOACBSOABSABCOAOBsin AB2，SOACB1002，令tan 2，则SOACB1002.“直接监测覆盖区域”面积的最大值为(10 00025 000)m2.14.如图，已知扇形的圆心角AOB，半径为4，若点C是上的一动点(不与点A，B重合).(1)若弦BC4(1)，求的长；(2)求四边形OACB面积的最大值.解(1)在OBC中，BC4(1)，OBOC4，所以由余弦定理得cosBOC，所以BOC，于是的长为4.(2)设AOC，则BOC，S四边形OACBSAOCSBOC44sin 44sin24sin 8cos 16sin.由于，所以，当时，四边形OACB的面积取得最大值16.