1、第4节三角函数的图象与性质考试要求1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数ysin x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，0)，(，0)，(2，0).(2)余弦函数ycos x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，1)，(，1)，(2，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx xk值域1，11，1R最小正周期22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k，2k递减区间2k，2k无对称中心
2、(k，0)对称轴方程xkxk无1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x的形式，偶函数一般可化为yAcos xb的形式.3.对于ytan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(kZ)内为增函数.1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)余弦函数ycos x的对称轴是y轴.()(2)正切函数ytan x在定义域内是增函数.()(3)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1.()(4)ysin|x|是偶函数.
3、()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)余弦函数ycos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.(2)正切函数ytan x在每一个区间(kZ)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k0时，ymaxk1；当k0，|)的最小正周期为4，且xR有f(x)f成立，则f(x)图象的对称中心是_，对称轴方程是_.答案，kZx2k，kZ解析由f(x)cos(x)的最小正周期为4，得，因为f(x)f恒成立，所以f(x)maxf，即2k(kZ)，又|bc B.acbC.cab D.bac答案A解析af2cos，bf2cos，cf2cos，因为ycos x在0，上递减，又bc.角度2
4、根据三角函数的单调性求参数例3 已知0，函数f(x)cos xsin(x)在上单调递增，则的取值范围是()A.2，6 B.(2，6)C. D.答案C解析由已知f(x)cos xsin(x)cos xsin xsin xcos cos xsin sin，又f(x)在上单调递增，所以kZ，解得6k44k，由6k44k得k，又0，kZ，因此k1，所以2.感悟提升1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成yAsin(x)形式，再求yAsin(x)的单调区间，只需把x看作一个整体代入ysin x的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题，首先
5、，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.训练2 (1)(2021新高考卷)下列区间中，函数f(x)7sin单调递增的区间是()A. B.C. D.答案A解析法一令2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ.取k0，则x.因为，所以区间是函数f(x)的单调递增区间.法二当0x时，x，所以f(x)在上单调递增，故A正确；当x时，x，所以f(x)在上不单调，故B不正确；当x时，x，所以f(x)在上单调递减，故C不正确；当x2时，x0，故a，因为f(x)cos在a，a上是减函数，所以解得00
6、，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是_.答案解析由x0，得x，又ysin x的单调递减区间为，kZ，所以kZ，解得4k2k，kZ.又函数f(x)在上单调递减，所以周期T，解得02.所以.三角函数中的求解三角函数中的求解一般要利用其性质，解决此类问题的关键是：(1)若已知三角函数的单调性，则转化为集合的包含关系，进而建立所满足的不等式(组)求解；(2)若已知函数的对称性，则根据三角函数的对称性研究其周期性，进而可以研究的取值；(3)若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于的不等式(组)，进而求出的值或取值范围.一、利用三角函数的周期求解例1 为了使
7、函数ysin x(0)在区间0，1上至少出现50次最大值，则的最小值为()A.98 B. C. D.100答案B解析由题意，至少出现50次最大值即至少需用49 个周期，所以T1，所以.二、利用三角函数的单调性求解例2 若函数f(x)sin x(0)在区间上单调递减，则的取值范围是()A. B. C. D.答案D解析令2kx2k(kZ)，得x(kZ)，因为f(x)在上单调递减，所以(kZ)，解得6k4k3(kZ).又0，所以k0，又6k4k3(kZ)，得0k(kZ)，所以k0.故3.三、利用三角函数的最值、图象的对称性求解例3 已知函数f(x)sin(x)，x为f(x)的零点，直线x为yf(x)
8、图象的对称轴，且f(x)在上单调，则的最大值为()A.11 B.9 C.7 D.5答案B解析因为x为f(x)的零点，x为f(x)的图象的对称轴，所以kT，即T，所以4k1(kN*)，又因为f(x)在上单调，所以，即12，由此得的最大值为9.1.下列函数中，是周期函数的为()A.f(x)sin |x| B.f(x)tan |x|C.f(x)|tan x| D.f(x)(x1)0答案C解析对于C，f(x)|tan(x)|tan x|f(x)，所以f(x)是周期函数，其余均不是周期函数.2.下列函数中，是奇函数的是()A.y|cos x1| B.y1sin xC.y3sin(2x) D.y1tan
9、x答案C解析选项A中的函数是偶函数，选项B，D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为y3sin(2x)3sin 2x，所以是奇函数，选C.3.(多选)已知函数f(x)sin4xcos4x，则下列说法正确的是()A.f(x)的最小正周期为B.f(x)的最大值为2C.f(x)的图象关于y轴对称D.f(x)在区间上单调递增答案ACD解析f(x)sin4xcos4xsin2xcos2xcos2x，函数f(x)的最小正周期T，f(x)的最大值为1.f(x)cos(2x)cos 2xf(x)，f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称.ycos 2x在上单调递减，f(x)cos 2x在上单调递增，故选ACD.
10、4.如果函数y3cos(2x)的图象关于点对称，那么|的最小值为()A. B. C. D.答案A解析由题意得3cos3cos3cos0，k(kZ)，k(kZ)，取k0，得|的最小值为.5.若f(x)sin，则()A.f(1)f(2)f(3)B.f(3)f(2)f(1)C.f(2)f(1)f(3)D.f(1)f(3)f(2)答案A解析由2x，可得x，所以函数f(x)在区间上单调递减，由于12，且12，故f(1)f(2).由于23，且23，故f(2)f(3)，所以f(1)f(2)f(3)，故选A.6.(多选)已知函数f(x)sin|x|sin x|，下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(
11、x)在区间单调递增C.f(x)在，有4个零点D.f(x)的最大值为2答案AD解析f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，f(x)为偶函数，故A正确；当x时，f(x)sin xsin x2sin x，f(x)在上单调递减，故B不正确；f(x)在，上的图象如图所示，由图可知函数f(x)在，上只有3个零点，故C不正确；ysin|x|与y|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，f(x)可以取到最大值2，故D正确.7.函数y的定义域为_.答案(kZ)解析要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0，2上ysin x和ycos x的图象，如图
12、所示.在0，2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为.8.(2021合肥调研)已知函数f(x)，则下列说法正确的是_(填序号).f(x)的周期是；f(x)的值域是y|yR，且y0；直线x是函数f(x)图象的一条对称轴；f(x)的单调递减区间是，kZ.答案解析函数f(x)的周期为2，错；f(x)的值域为0，)，错；当x时，x，kZ，x不是f(x)的对称轴，错；令kxk，kZ，可得2kx2k，kZ，f(x)的单调递减区间是，kZ，正确.9.(2022北京海淀区一模)已知函数f(x)sin x(0)在上单调递增，那么常数的一个取值为_.答案(答案不唯
13、一)解析f(x)sin x(0)在上单调递增，则，0，取一个该范围内的值即可，如.10.已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为.(1)当f(x)为偶函数时，求的值；(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间.解因为f(x)的最小正周期为，所以T，即2.所以f(x)sin(2x).(1)当f(x)为偶函数时，k(kZ)，因为0，所以.(2)当f(x)的图象过点时，sin，即sin.又因为0，所以.所以，即.所以f(x)sin.令2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ).所以f(x)的单调递增区间为(kZ).11.已知函数f(x)sin(2x)sincos2x.(1)求f(x)的最小正
14、周期和图象的对称轴方程；(2)当x时，求f(x)的最小值和最大值.解(1)由题意，得f(x)(sin x)(cos x)cos2 xsin xcos xcos2xsin 2x(cos 2x1)sin 2xcos 2xsin，所以f(x)的最小正周期T；令2xk(kZ)，得x(kZ)，故所求图象的对称轴方程为x(kZ).(2)当0x时，2x，由函数图象(图略)可知，sin1.即0sin.故f(x)的最小值为0，最大值为.12.若函数f(x)sin xcos x(0)在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则的取值范围为()A.(5，8) B.(5，8C.(5，11 D.5，11)答案B解析由题意，
15、函数f(x)sin xcos x2sin，因为x，可得x(1)，要使得函数f(x)在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则满足(1)，解得58，所以的取值范围为(5，8.13.(多选)(2021青岛二模)已知函数f(x)2sin xcos x(sin2xcos2x)，判断下列给出的四个命题，其中正确的为()A.对任意的xR，都有ff(x)B.将函数yf(x)的图象向右平移个单位，得到偶函数g(x)C.函数yf(x)在区间上是减函数D.“函数yf(x)取得最大值”的一个充分条件是“x”答案ACD解析由题意得f(x)2sin xcos x(sin2xcos2x)sin 2xcos 2x2sin.对
16、于A，对任意的xR，f2sin2sin2sin2sinf(x)，故A正确；对于B，将函数yf(x)的图象向右平移个单位，可得g(x)sinsin，不是偶函数，故B错误；对于C，因为x，所以2x，因为ysin x在上单调递减，所以f(x)2sin在区间上是减函数，故C正确；对于D，当x时，2x，所以f2sin 2，即函数yf(x)在x处取得最大值，充分性成立，所以函数yf(x)取得最大值的一个充分条件是x，故D正确.14.已知函数f(x)2sina1.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x时，f(x)的最大值为4，求a的值；(3)在(2)的条件下，求满足f(x)1，且x，的x的取值集合.解(1)令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)因为当x时，f(x)取得最大值，即f2sin a1a34.解得a1.(3)由f(x)2sin21，可得sin，则2x2k，kZ或2x2k，kZ，即xk，kZ或xk，kZ，又x，可解得x，所以x的取值集合为.