1、第7节离散型随机变量及其分布列和数字特征考试要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.1.离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(Xxi)pi，i1，2，n为X的概率分布列，简称分布列.3.离散型随机变量的分布列的性质pi0(i1，2，n)；p1p2pn1.4.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机
2、变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值称E(X)x1p1x2p2xipixnpnxipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差称D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pn为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度.5.均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b为常数).随机变量的线性关系若X是随机变量，YaXb，a，b是常数，则Y也是随机变量.1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)离散型随机变量的概
3、率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.()(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.()(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.()答案(1)(2)(3)(4)解析对于(2)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故不正确.2.(易错题)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是()A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球C.取到白球的个数D.取到球的个数答案C解析选项A，B表述的都是
4、随机事件；选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2.3.(易错题)若随机变量X的分布列为X210123P0.10.20.20.30.10.1则当P(Xa)0.8时，实数a的取值范围是()A.(，2 B.1，2C.(1，2 D.(1，2)答案C解析由随机变量X的分布列知P(X1)0.1，P(X0)0.3，P(X1)0.5，P(X2)0.8，则当P(Xa)0.8时，实数a的取值范围是(1，2.4.(2020全国卷)在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且pi1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()A.p1p40.1，p2p
5、30.4B.p1p40.4，p2p30.1C.p1p40.2，p2p30.3D.p1p40.3，p2p30.2答案B解析X的可能取值为1，2，3，4，四种情形的数学期望E(X)1p12p23p34p4都为2.5，方差D(X)1E(X)2p12E(X)2p23E(X)2p34E(X)2p4，标准差为.A选项的方差D(X)0.65；B选项的方差D(X)1.85；C选项的方差D(X)1.05；D选项的方差D(X)1.45.可知选项B的情形对应样本的标准差最大.5.(2022郴州检测)设随机变量X的概率分布列为X1234Pm则P(|X3|1)_.答案解析由m1，解得m，P(|X3|1)P(X2)P(X
6、4).6.(2021浙江卷)袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则mn_；E()_.答案1解析由题意可得P(2)，化简得(mn)27(mn)600，得mn5(mn12舍去).又取出的两个球为一红一黄的概率P，解得m3，故n2，所以mn1.易知的所有可能取值为0，1，2，且P(2)，P(1)，P(0)，所以E()012.考点一分布列的性质例1 (1)随机变量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|1)_，公差d的取值范围是_.答案解析因为a，b，c成等差数列，所以2bac.又abc
7、1，所以b，因此P(|X|1)ac.又ad，cd，根据分布列的性质，得0d，0d，所以d.(2)设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求2X1的分布列；求随机变量|X1|的分布列.解由分布列的性质知，0.20.10.10.3m1，得m0.3.列表为X012342X113579从而2X1的分布列为2X113579P0.20.10.10.30.3由知m0.3，列表为X01234|X1|10123所以P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(0)P(X1)0.1，P(2)P(X3)0.3，P(3)P(X4)0.3，故|X1|的分布列为0123P0.10.30.
8、30.3感悟提升分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.训练1 (1)离散型随机变量X的概率分布规律为P(Xn)(n1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值为()A. B. C. D.答案D解析因为P(Xn)(n1，2，3，4)，所以1，即a，所以PP(X1)P(X2).(2)(多选)设离散型随机变量的分布列如下表所示：10123P则下列各式不正确的是()A.P(1)C.P(24) D.P(0.5)0答案ABD解析P(1)，B错误；P(24)P(3)
9、，C正确；P(0.5)，D错误.考点二分布列的求法例2 有编号为1，2，3，n的n个学生，入座编号为1，2，3，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X2时，共有6种坐法.(1)求n的值；(2)求随机变量X的分布列.解(1)因为当X2时，有C种方法，因为C6，即6，也即n2n120，解得n4或n3(舍去)，所以n4.(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，由题意可知X的可能取值是0，2，3，4，所以P(X0)，P(X2)，P(X3)，P(X4)1，所以X的概率分布列为X0234P感悟提升离散型随机变量分布列的求解步骤训练2
10、 甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为，.记甲同学三个项目中通过考试的个数为X，求随机变量X的分布列.解随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).随机变量X的分布列为X0123P考点三离散型随机变量的数字特征角度1期望、方差的计算例3 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1
11、小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与均值E()，方差D().解(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1，1.两人都付0元的概率为P1，两人都付40元的概率为P2，两人都付80元的概率为P3，则两人所付费用相同的概率为PP1P2P3.(2)的所有可能取值为0，40，80，120，160，则P(0)，P(40)，P(80)，P(120)，P(160).所以的分布列为04080120160PE(
12、)0408012016080.D()(080)2(4080)2(8080)2(12080)2(16080)2.角度2决策问题例4 某投资公司在2023年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.解若按“项目一”投资，设获利为X1万元，X1的所有可能取值为
13、300，150.则X1的分布列为X1300150PE(X1)300(150)200(万元).若按“项目二”投资，设获利X2万元，X2的所有可能取值为500，300，0.则X2的分布列为：X25003000PE(X2)500(300)0200(万元).D(X1)(300200)2(150200)235 000，D(X2)(500200)2(300200)2(0200)2140 000.所以E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利的期望值相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.感悟提升求离散型随机变量的均值与方差的步骤(1)理解的意义，写出可能
14、的全部值.(2)求取每个值的概率.(3)写出的分布列.(4)由均值的定义求E().(5)由方差的定义求D().训练3 2022年元旦班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目.(1)求a同学摸球三次后停止摸球的概率；(2)记X为a同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差.解(1)设“a同学摸球三次后停止摸球”为事件E，则P(E
15、)，故a同学摸球三次后停止摸球的概率为.(2)随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以随机变量X的分布列为X01234P期望E(X)012342，方差D(X)(02)2(12)2(22)2(32)2(42)2.1.抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，则“5”表示的试验结果是()A.第一枚6点，第二枚2点B.第一枚5点，第二枚1点C.第一枚1点，第二枚6点D.第一枚6点，第二枚1点答案D解析第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5.故选D.2.已知随机变量的分布列如下，且E()6.3，则
16、a的值为()4a9P0.50.1bA.5 B.6 C.7 D.8答案C解析由概率分布列性质，知0.50.1b1，所以b0.4，所以E()40.5a0.190.46.3，所以a7.3.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为，则表示“放回5个红球”事件的是()A.4 B.5 C.6 D.5答案C解析“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故6.4.(2022沈阳模拟)设离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，4，P(Xk)akb，若X的均值为E(X)3，则ab等于()A. B.0 C. D.答案A解析由题意
17、知(ab)(2ab)(3ab)(4ab)1，即10a4b1，又X的均值E(X)3，则(ab)2(2ab)3(3ab)4(4ab)3，即30a10b3，a，b0，ab.5.(多选)(2022泰安期末)设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足Y2X1，则下列结果正确的有()A.q0.1 B.E(X)2，D(X)1.4C.E(X)2，D(X)1.8 D.E(Y)5，D(Y)7.2答案ACD解析因为q0.40.10.20.21，所以q0.1，故A正确；又E(X)00.110.420.130.240.22，D(X)(02)20.1(12)20.4(22)
18、20.1(32)20.2(42)20.21.8，故C正确；因为Y2X1，所以E(Y)2E(X)15，D(Y)4D(X)7.2，故D正确.故选ACD.6.(多选)(2021杭州质检)已知随机变量的分布列如下：012Pbaba则当a在内增大时()A.E()增大B.E()减小C.D()先增大后减小D.D()先减小后增大答案AC解析由随机变量的分布列得解得b0.5，0a0.5，E()0.52a，0a0.5.故a在内增大时，E()增大.D()(2a0.5)2(0.5a)(0.52a)20.5(1.52a)2a4a22a4，所以当a时，D()为单调递增，当a时，D()单调递减，故选AC.7.某射击选手射击
19、环数的分布列为X78910P0.30.3ab若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为_.答案40%解析由分布列的性质得ab10.30.30.4，故射击一次的优秀率为40%.8.已知随机变量的分布列为123P0.5xy若E()，则D()_.答案解析由分布列性质，得xy0.5.又E()，得2x3y，可得D().9.一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了.设放对的个数为，则的期望值为_.答案1解析将四个小球放入四个盒子，每个盒子放一个小球，共有A种不同的放法，放对的个数可取的值为0，
20、1，2，4.P(0)，P(1)，P(2)，P(4)，所以E()01241.10.甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，求：(1)乙投篮次数不超过1的概率；(2)记甲、乙两人投篮次数总和为，求的分布列和期望.解(1)记“甲投篮投中”为事件A，“乙投篮投中”为事件B.“乙投篮次数不超过1”包括三种情况：第一种是甲第1次投篮投中，第二种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中，第三种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中.故所求的概率PP(ABA)P(A)P(B)P(A)P(A)P()P(
21、B)P()P()P(A).(2)甲、乙投篮次数总和的值为1，2，3，4，P(1)P(A)；P(2)P(B)；P(3)P(A)；P(4)P().所以甲、乙投篮次数总和的分布列为1234PE()1234.11.(2022长沙调研)某高校机器人社团决定从大一新生中招聘一批新成员.招聘分笔试、面试这两个环节.笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取.现有甲、乙、丙三名大一新生报名参加了机器人社团招聘.假设甲通过笔试、面试的概率分别为，；乙通过笔试、面试的概率分别为，丙通过各环节的概率与甲相同.(1)求甲、乙、丙三人中恰有两人被机器人社团录取为新成员的概率；(2)求甲、乙、丙三人中至多有两人被机器人
22、社团录取为新成员的概率；(3)为鼓励大一新生积极报名参加机器人社团招聘，该机器人社团决定给参加应聘的大一新生赠送一定的手机话费，赠送标准如下表：参与环节笔试面试手机话费/元2030记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望.解(1)设事件A表示“甲被机器人社团录取为新成员”，事件B表示“乙被机器人社团录取为新成员”，事件C表示“丙被机器人社团录取为新成员”.则P(A)P(C)，P(B)，所以甲、乙、丙三人中恰有两人被机器人社团录取为新成员的概率pP(BCACAB)P()P(B)P(C)P(A)P()P(C)P(A)P(B)P()2.(2)设事件D表示“甲、乙、丙三人都被机
23、器人社团录取”，则P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)，所以甲、乙、丙三人中至多有两人被机器人社团录取为新成员的概率p1P(D)1.(3)X的所有可能取值为60，90，120，150.P(X60)，P(X90)2，P(X120)2，P(X150).所以X的分布列为X6090120150P所以E(X)6090120150110.12.(多选)(2021广州质检)某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论正确的是()A.四人去了四个不同餐厅就餐的概率为B.四人去了同一餐厅就餐的概率为C.四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率
24、为D.四人中去第一餐厅就餐的人数的均值为答案ACD解析四人去餐厅就餐的情况共有64种，其中四人去了四个不同餐厅就餐的情况有A种，则四人去了四个不同餐厅就餐的概率为，故A正确；同理，四人去了同一餐厅就餐的概率为，故B错误；四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为，故C正确；设四人中去第一餐厅就餐的人数为，则0，1，2，3，4.则P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，由四人中去第一餐厅就餐的人数的分布列为01234P则四人中去第一餐厅就餐的人数的均值E()01234，故D正确.13.(多选)(2022北京海淀区调研)开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，特推出即点即取的米饭套餐和面
25、食套餐两种.已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份15元，面食套餐的价格是每份10元，如果小明当天选择了某种套餐，他第二天会有80%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为pn，则以下论述正确的是()A.小明同学第二天一定选择面食套餐B.p30.68C.pn0.2pn10.8(1pn1)(n2，nN)D.前n天小明同学午餐花费的总费用的数学期望为n答案BCD解析在A中，第1天小明选择了米饭套餐，则小明第二天有80%的可能选择面食套餐，故A错误；在B中，第1天小明选择了米饭套餐，p30.80.80.20.
26、20.68，故B正确；在C中，小明当天选择了某种套餐，他第二天会有80%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为pn，pn0.2pn10.8(1pn1)(n2，nN)，故C正确；在D中，当n1时，前n天小明午餐花费的总费用的数学期望为151.当n2时，前n天小明午餐花费的总费用的数学期望为15150.2100.82.当n3时，前n天小明午餐花费的总费用的数学期望为15150.2100.8150.68100.323.由此猜想前n天小明午餐花费的总费用的数学期望为n，故D正确.14.东方商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一次(购进时
27、，该食品为刚生产的).根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了解市场的需求情况，现统计该食品在本地区100天的销售量如下表：销售量/份15161718天数20304010(视样本频率为概率)(1)根据该食品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为X，求X的分布列与数学期望；(2)以两天内该食品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？解(1)根据题意可得，X的所有可能取值为30，31，32，33，34，35，36.则P(X30)，P(X31)2，P(X32)2，P(X33)22，P(X34)2，P(X35)2，P(X36).X的分布列如下：X30313233343536PE(X)3031323334353632.8.(2)当购进32份时，利润为324(3148)(30416)107.5213.924.16125.6(元).当购进33份时，利润为334(3248)(31416)(30424)77.883012.963.84124.68(元).125.6124.68，因此，当购进32份时，利润更大.