1、第五章 三角函数课时5.1.2 任意角和弧度制(2)弧度制通过教材中的探究,明确角度制与弧度制的关系,掌握角度与弧度的互化公式及弧度制下的弧长公式及扇形面积公式,体会数学抽象的过程,加强问题探究与数学运算素养的培养.学习本节要注意以下问题:1.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化.2.掌握并能运用弧长公式和扇形面积公式.基础过关练题组一角度与弧度的互化及应用1.把135化为弧度等于 () A.3 B.2C.34 D.62.把-83化成角度是 ()A.-960B.-480C.-120D.-603.下列转化结果错误的是 ()A.60化成弧度是3B.-103化成角度是-600C.-150化成弧度
2、是-76D.12化成角度是154.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为.5.已知两角的和是1弧度,两角的差是1,则这两个角用弧度制表示为.6.将下列各角转化成2k+(kZ,且02)的形式,并指出它们是第几象限角.(1)-1 725;(2)3 840.题组二用弧度制表示终边相同的角7.与角23终边相同的角是 ()A.113 B.2k-103(kZ)C.2k-23(kZ) D.(2k+1)+23(kZ)8.下列各对角中,终边相同的是 ()A.203,293 B.-3,223C.32,-32 D.-79,-2599.已知角与的终边关于原点对称,则与的关系为 ()A.-=+2k(kZ)
3、B.+=0C.+=2k(kZ)D.以上都不对10.在0360内,与角-3终边相同的角是.11.用弧度表示终边落在阴影部分内(包括边界)的角的集合.题组三扇形的弧长公式及面积公式的应用12.扇形的圆心角为23,半径为3,则此扇形的面积为 ()A.54 B.C.33 D.23913.已知扇形的面积为38,半径是1,则扇形的圆心角是 ()A.316B.38C.34D.3214. 已知扇形的圆心角为4,弧长为,则扇形的面积为.能力提升练题组一用弧度制表示终边相同的角1.若-20),求扇形的最大面积及此时的值;(2)若扇形的面积是定值S(S0),求扇形的最小周长及此时的值.7.如图所示,已知一长为3 d
4、m,宽为1 dm的长方形木框在桌面上做无滑动的翻滚,翻滚到第四次时被一小木块挡住,使木框的一边与桌面成30角,求点A走过的路程及走过的弧所对应的扇形的总面积.答案全解全析基础过关练1.C因为180=,所以1=180,所以135=135180=34,故选C.2.B-83=-83180=-480.3.CA正确,60=60180=3;B正确,-103=-103180=-600;C错,-150=-150180=-56;D正确,12=12180=15.4.答案-143解析分针每分钟转6,分针在1点到3点20分这段时间里转过的度数为-6(260+20)=-840,-840180=-143.5.答案12+3
5、60,12-360解析设这两个角为,弧度,不妨设,则+=1,-=180,解得=12+360,=12-360.6.解析(1)-1 725=-5360+75=-10+512.-1 725与512的终边相同,且512是第一象限角,-1 725是第一象限角.(2)3 840=643=20+43.643与43的终边相同,且43是第三象限角,3 840是第三象限角.7.BA错,113=2+53,与角23的终边不同;B正确,2k-103,kZ,当k=2时,得0,2)上的角为23,与角23有相同的终边;C错,2k-23,kZ,当k=1时,得0,2)上的角为43,与角23的终边不同;D错,(2k+1)+23,k
6、Z,当k=0时,得0,2)上的角为53,与角23的终边不同.8.DA错,203=6+23,293=10-3,终边不相同;B错,223=6+43,其终边与-3的终边不同;C错,32的终边在y轴的负半轴上,而-32的终边在y轴的正半轴上,所以终边不相同;D正确,因为-259=-2-79,所以-79和-259的终边相同.9.A由已知可得-=+2k(kZ).10.答案300或53解析-3=-2+53,在0到2范围内,与角-3终边相同的角是300或53.故答案为300或53.11.解析如题图,330角的终边与-30角的终边相同,将-30化为弧度为-6,而75=75180=512,终边落在阴影部分内(包括
7、边界)的角的集合为2k-62k+512,kZ.12.B由扇形的圆心角=23,半径r=3,可得弧长l=r=233,故扇形面积为12lr=122333=.13.C设扇形的圆心角是,则38=1212,解得=34,故选C.14.答案2解析由扇形的圆心角=4,弧长l=,得扇形的半径r=l=4,则扇形的面积S=12lr=124=2.故答案为2.能力提升练1.D-22,-424,-424,两式相加可得-2+22.-424,-4-24,则-2-22.又,-20,故-2-20,故选D.2.解析(1)依题意知,2k+22k+,kZ,所以k+42k+2,kZ.若k为偶数,则2是第一象限角;若k为奇数,则2是第三象限
8、角.其变化范围如图中阴影部分所示(不含边界).(2)因为|+2|4,所以-62,所以2k+2,2k+-6,2,kZ,所以-32,-2,2.3.B设圆的半径为R,圆面中剪下扇形的圆心角为,剪下丢去部分的圆心角为,依题意得S1S2=12R212R2=5-12,=5+12.又+=360,+5+12=360,解得=3-52360137.50.故选B.4.B因为圆心角为23,弦长为403 m,所以圆心到弦的距离为20 m,半径为40 m,因此根据经验公式计算出弧田的面积为12(40320+2020)=(4003+200)m2,实际面积等于扇形面积减去三角形面积,为1223402-1220403=1 60
9、03-4003m2,因此两者之差为1 6003-4003-(4003+200)16 m2,故选B.5.答案4解析由题意可知OB=OA=1,OC=OC=12,BC=BC=32,BOC=BOC=3,扇形AOB的面积为6,RtBOC的面积为38,故BC左边空白图形的面积S1=6-38,而BC右边三块空白图形的面积之和S2=122314+38=12+38,由此可得空白图形的总面积S=S1+S2=6+12=4,而半圆的面积为2,所以所求阴影部分的面积为2-4=4.6.解析(1)由题意,可得2r+r=C,则r=C-2r,则扇形的面积S=12r2=12(C-2r)r=-r2+12Cr=-r-C42+C216,故当r=C4时,S取得最大值C216,此时=C-2rr=2.(2)由题意可得S=12r2,则r=2Sr,故扇形的周长C=2r+r=2r+2Sr4S,当且仅当2r=2Sr,即r=S时,等号成立,即r=S时,C取得最小值4S,此时=2Sr2=2.7.解析根据题意得,AA1所在扇形的半径是2 dm,圆心角为2;A1A2所在扇形的半径是1 dm,圆心角为2;A2A3所在扇形的半径是3 dm,圆心角为3,所以点A走过的路程是3段圆弧长之和,即22+12+33=9+236(dm),3段圆弧所对应的扇形的总面积是122+1221+12333=74(dm2).
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