1、第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积8.1.2 向量数量积的运算律栏目导航栏目导航2 学 习 目 标核 心 素 养 1.通过向量数量积的定义给出向量数量积的运算律(难点)2.能利用运算律进行向量的数量积运算(重点，难点)1.通过向量加法与数乘运算律得到数量积的运算律，培养学生的数学抽象的核心素养2.利用平面向量的运算律进行数量积运算，提升学生数学运算的核心素养.栏目导航栏目导航3 自 主 预 习 探 新 知 栏目导航栏目导航4 1.两个向量数量积的运算律(1)交换律：ab.(2)结合律：(a)b(R)(3)分配律：(ab)c.ba(ab)acbc栏目导航栏目导航5 思考 1
2、：根据实数乘法的分配律，得到向量数量积的分配律：(1)实数 a，b，c 的乘法分配律：(ab)c_.(2)向量 a，b 的数量积的分配律：(ab)c_.提示(1)acbc(2)acbc栏目导航栏目导航6 2.重要公式：平方差公式(ab)(ab)_ 完全平方公式(ab)2a22abb2 a2b2栏目导航栏目导航7 思考 2：根据实数的乘法公式，得到向量数量积的公式：(1)平方差公式：(ab)(ab)_；向量数量积公式：(ab)(ab)_.(2)完全平方公式：(ab)2_；向量数量积公式：(ab)2_.提示(1)a2b2；a2b2(2)a22abb2；a22abb2栏目导航栏目导航8 1.下面给出
3、的关系式中正确的个数是()0a0；abba；a2|a|2；|ab|ab；(ab)2a2b2.A1 B2 C3 D4C 正确，错误，错误，(ab)2(|a|b|cos )2a2b2cos 2 a2b2，选 C栏目导航栏目导航9 2.已知|a|1，|b|1，|c|2，a 与 b 的夹角为 90，b 与 c 的夹角为 45，则 a(bc)的化简结果是()A0 Ba Cb DcB bc|b|c|cos 451.a(bc)a.栏目导航栏目导航10 3.已知|a|2，|b|1，a 与 b 之间的夹角为 60，那么向量|a4b|2()A2 B2 3 C6 D12D|a4b|2a28ab16b222821co
4、s 60161212.栏目导航栏目导航11 4设 a，b，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：acbc(ab)c；(bc)a(ca)b 不与 c 垂直；|a|b|ab|；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中正确的序号是_栏目导航栏目导航12 根 据 向 量 积 的 分 配 律 知 正 确；因 为(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，(bc)a(ca)b 与 c 垂直，错误；因为 a，b 不共线，所以|a|，|b|，|ab|组成三角形三边，|a|b|ab|成立，正确；正确故正确命题的序号是.栏目导航栏目导航13 合 作 探 究 提 素 养 栏目
5、导航栏目导航14 利用向量数量积的运算律计算【例 1】(1)如图，在平行四边形 ABCD 中，APBD，垂足为 P，且 AP3，则APAC_.栏目导航栏目导航15(2)(2019东营高一检测)已知 e1，e2 是互相垂直的单位向量，a3e1e2，be1e2.若 ab，求实数 的值；若 a 与 b 的夹角为 60，求实数 的值思路探究(1)利用向量垂直的充要条件转化为向量的数量积计算(2)利用平面向量的数量积公式以及运算律，解方程求参数的值 栏目导航栏目导航16(1)18 在平行四边形 ABCD 中，得BD BABC，ACBCBA.由 APBD，垂足为 P，且 AP3，得APBD AP(BABC
6、)0APBCAPBA.所以AP AC AP(BC BA)AP BC AP BA 2AP BA 2APAB 2|AP|AB|cosAP，AB2|AP|218.栏目导航栏目导航17(2)解 由 ab,得 ab0，则(3e1e2)(e1e2)0，得 3e21 3e1e2e1e2e220，30，所以 3.因为 3e1e2 与 e1e2 的夹角为 60，所以 cos 3e1e2，e1e212，且3e1e2 e1e2 3e21 3e1e2e1e2e22 3，|3e1e2|3e1e22 3e212 3e1e2e222，|e1e2|e1e22e212e1e22e2212，32 12cos 60 12，解得 3
7、3.栏目导航栏目导航18 利用向量数量积的运算律计算的注意事项1计算abab，可以类比多项式乘法运算律，注意实数的乘法、数乘向量和向量的数量积在表示和意义的异同.2三个实数的积满足结合律abcabcacb，而三个向量的“数量积”不一定满足结合律，即下列等式不一定成立：abcabcacb，这是因为上式的本质为 cakb，当三个向量不共线时，显然等式不成立.栏目导航栏目导航19 1.已知ABC 外接圆半径是 1，圆心为 O，且 3OA 4OB 5OC 0，则OC AB()A85 B75 C15 D45栏目导航栏目导航20 C 由 3OA 4OB 5OC 0，得 5OC 3OA 4OB，两边平方，得
8、 25OC 29OA 216OB 224OA OB，因为ABC 外接圆半径是 1，圆心为 O，所以 2591624OA OB，即OA OB 0.所以OC AB15(5OC)(OB OA)15(3OA 4OB)(OB OA)15(3OA OB 3OA 24OB 24OA OB)15.栏目导航栏目导航21 利用平面向量的数量积证明几何问题【例 2】如图，已知ABC 中，C 是直角，CACB，D 是 CB 的中点，E 是 AB 上的一点，且 AE2EB求证：ADCE.思路探究 借助平面向量垂直的充要条件解题，即通过计算AD CE0 完成证明 栏目导航栏目导航22 证明 设此等腰直角三角形的直角边长为
9、 a，则 AD CEACCD CAAE ACCACD CAACAECD AE a20a2 23 a 22 a22 23 a 22 a223a213a20.所以 ADCE.栏目导航栏目导航23 利用向量法证明几何问题的方法技巧1利用向量表示几何关系，如位置关系、长度关系，角度关系.2进行向量计算，如向量的线性运算、数量积运算.3将向量问题还原成几何问题，如向量共线与三点共线或者直线平行，向量的夹角与直线的夹角等.栏目导航栏目导航24 2.在边长为 1 的菱形 ABCD 中，A60，E 是线段 CD 上一点，满足|CE|2|DE|，如图所示，设ABa，AD b.(1)用 a，b 表示BE；(2)在
10、线段 BC 上是否存在一点 F 满足 AFBE？若存在，确定 F点的位置，并求|AF|；若不存在，请说明理由栏目导航栏目导航25 解(1)根据题意得：BCAD b，CE23CD 23BA23AB23a，BEBCCEb23a；栏目导航栏目导航26(2)结论：在线段 BC 上存在使得 4|BF|BC|的一点 F 满足AFBE，此时|AF|214.理由如下：设BFtBCtb，则FC(1t)b，(0t1)，AFABBFatb，在边长为 1 的菱形 ABCD 中，A60，|a|b|1，ab|a|b|cos 6012，栏目导航栏目导航27 AFBE，AFBE(atb)b23a 123t ab23a2tb2
11、 123t 1223t0，解得 t14，从而AFa14b，|AF|AF 2a212ab 116b211212 116 214.栏目导航栏目导航28 1.向量的数量积与实数乘积运算性质的比较实数 a，b，c向量 a，b，c a0，ab0b0a0，ab0/b0 abbc(b0)acabbc(b0)/ac|ab|a|b|ab|a|b|满足乘法结合律不满足乘法结合律栏目导航栏目导航29 2.知识导图交换律数量积运算律结合律分配律栏目导航栏目导航30 当 堂 达 标 固 双 基 栏目导航栏目导航31 1.已知|a|3，|b|2，则(ab)(ab)()A2 B3C5D5C 因为|a|3，|b|2，所以(a
12、b)(ab)a2b2945.栏目导航栏目导航32 2.已知ABCD 中，|AB|4，|AD|3，N 为 DC 的中点，BM 2MC，则AM NM()A2 B5C6 D8栏目导航栏目导航33 C AM NM(ABBM)(NC CM)AB23AD 12AB13AD 12AB 229AD 2 124229326.故选 C栏目导航栏目导航34 3.已知向量|a|2|b|2，a 与 b 的夹角为 120，则|a2b|()A2 B3C4 D6A 因为向量|a|2|b|2，a 与 b 的夹角为 120，则|a2b|2(a2b)2a24ab4b244|a|b|cos 12044.所以|a2b|2.栏目导航栏目导航35 4已知向量 a 与 b 的夹角为 30，且|a|1，|2ab|1，则|b|_.3 因为|2ab|1，所以|2ab|24a2b24ab4|b|24|b|cos 301，即|b|22 3|b|30，所以(|b|3)20，所以|b|3.栏目导航栏目导航36 课 时 分 层 作 业 点击右图进入 Thank you for watching!