1、第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法第 2 课时 含参数的一元二次不等式的解法学习目标 1.含参数的一元二次不等式的解法 2.了解分类讨论的原则和方法 3.运用数形结合的方法，将不等式的解化归为直观、形象的图形关系 知识提炼梳理1两边同除或同乘含参的式子时，应讨论含参的式子的符号当 a0 时，关于 x 不等式 axa2 的解是_；当 a0 时，关于 x 不等式 axa2 的解是_x|xax|xa2解含参数的一元二次不等式时，先求相应的二次方程的根，比较根的大小后，再根据相应二次函数的图象写出不等式的解集当 a0 时，关于 x 不等式 x2ax0 的解是_或_；当 a0 时，关于 x
2、不等式 x2ax0 的解是_或_.x0 xaxax0思考尝试夯基1已知不等式 ax2bxc0(a0)的解集为，则()Aa0，0 Ba0，0Ca0，0 Da0，0答案：C2已知不等式 x2pxq0 的解集是x|3x2，则()Ap1，q6 Bp1，q6Cp1，q6 Dp1，q6解析：由不等式 x2pxq0 的解集是x|3x2，知3，2 是方程 x2pxq0 的两根，由根与系数的关系可求出 p1，q6 的值 答案：C3若 a0，则关于 x 的不等式 x24ax5a20 的解是()Ax5a 或 xaBxa 或 x5aC5axaDax5a解析：由题可得(x5a)(xa)0，因为 a0，所以 5aa，所以
3、 xa 或 x5a.答案：B4.若集合 Ax|ax2ax10，则实数 a 的取值范围是()Aa|0a4 Ba|0a4Ca|0a4 Da|0a4解析：当 a0 时，满足条件 当 a0 时，由题意得a0，0，得 a(0，4 综上，a0，4答案：D5若不等式 x2mx10 的解集为 R，则实数 m的取值范围是()Am2 Bm2Cm2 或 m2 D2m2答案：D类型 1 含参数一元二次不等式的解法典例 1 解关于 x 的不等式：x(xa1)a.解：原不等式化为(x1)(xa)0，相应方程的两根为 1，a，故应比较 1 与 a 的大小 当 a1 时，原不等式的解集为x|x1 或 xa 当 a1 时，原不
4、等式的解集为 R.当 a1 时，原不等式的解集为x|xa 或 x1归纳升华解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论讨论一般分为三个层次：第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式为0，0，0；第三层次是根的大小的讨论变式训练 解关于 x 的不等式 x2ax2a20.解：方程 x2ax2a20 的判别式 a28a29a20，得方程两根 x12a，x2a，(1)若 a0，则ax2a，此时不等式的解集为x|ax2a；(2)若 a0，则 2axa，此时不等式的解集为x|2axa；(3)若 a0，则原不等式即为 x20，此时解集为.综上所述，原不等式的解集为 当 a0
5、 时，x|ax2a；当 a0 时，x|2axa；当 a0 时，.类型 2 二次项含参数的一元二次不等式的 解法典例 2 解关于 x 的不等式：ax22(a1)x40.解：(1)当 a0 时，原不等式的解集为：x|x2(2)当 a0 时，原不等式化为：ax2a(x2)0，当 a0 时，原不等式等价于x2a(x2)0，此时原不等式的解集为xx2a或x2；当 0a1 时，22a，此时原不等式的解集为x2x2a；当 a1 时，2a2，此时原不等式的解集为x2ax2；当 a1 时，原不等式的解集为.归纳升华熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分
6、类讨论，分类时要不重不漏 一般地：(1)当二次项系数不确定时，要分二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进行讨论(2)判别式大于零时，只需讨论两根大小(3)判别式不确定时，要分判别式大于零、等于零、小于零三种情况进行讨论 变式训练 解关于 x 的不等式 ax2(a1)x10.解：当 a0 时，原不等式可化为x10，即 x1，当 a0 时，原不等式可化为(ax1)(x1)0，即x1a(x1)0.所以1ax1.当 a0 时，原不等式可化为x1a(x1)0，其解的情况应由1a与 1 的大小关系决定，故 当1a1，即 0a1 时，有 x1a或 x1；当1a1，即 a1 时，有 x1 或 x1a；当1
7、a1，即 a1 时，有 x1.综上所述：当 a0 时，原不等式解集为x1ax1；当 a0 时，原不等式解集为x|x1；当 0a1 时，原不等式解集为xx1或x1a；当 a1 时，原不等式解集为x|xR 且 x1；当 a1 时，原不等式解集为xx1a或x1.类型 3 一元二次方程、二次函数、一元二次不 等式间的关系 典 例 3 若 不 等 式 ax2 bx c0 的 解 集 是x13x2，求不等式 cx2bxa0 的解集解：由 ax2bxc0 的解集为x13x2 知 a0，又13 2ca0，则 c0.又13，2 为方程 ax2bxc0 的两个根，所以ba53，所以ba53.又ca23，所以 b5
8、3a，c23a.所以不等式变为 23a x253a xa0，即 2ax25ax3a0，又因为 a0，所以 2x25x30.所以所求不等式的解集为x3x12.归纳升华如果对一元二次不等式解的意义不理解，将不能由 yax2bxc(a0)的解集得出 ax2bxc0 的两根为13和 2，即使知道，还有同学不能通过解集的形式得出 a0，又不能通过13 2ca得出 c0，导致错解变式训练 已知不等式 x22x30 的解集为 A，x2x60 的解集为 B，x2axb0 的解集为 C，若CAB，求 a，b 的值解：x22x30 的解集 A 为x|1x3，x2x60 的解集 B 为x|3x2，因为 CAB集合 C 为x|1x2，所以1，2 是方程 x2axb0 的两根 所以 a1，b2.1解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型，解决这类问题的难点在于对参数进行恰当分类分类相当于增加了题设条件，便于将问题分而治之在解题过程中，经常会出现分类难以入手或者分类不完备的现象强化分类意识，选择恰当的解题切入点，掌握一些基本的分类方法，善于借助直观图形找出分类的界值，是解决此类问题的关键2分类标准如何确定？看后面的结果不唯一的原因是什么一般来讲，先讨论二次项的系数，再对判别式进行讨论，最后对根的大小进行讨论