1、专题检测（二十三） 坐标系与参数方程大题专攻强化练1在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为4cos ，.(1)求半圆C的参数方程；(2)若半圆C与圆D：(x5)2(y)2m(m是常数，m0)相切，试求切点的直角坐标解：(1)半圆C的普通方程为(x2)2y24(0y2)，则半圆C的参数方程为(t为参数，0t)(2)C，D的圆心坐标分别为(2，0)，(5，)，于是直线CD的斜率k.由于切点必在两个圆心的连线上，故切点对应的参数t满足tan t，t，所以切点的直角坐标为，即(2，1)2(2019全国卷) 如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B
2、，C，D(2，)，弧，所在圆的圆心分别是(1，0)，(1，)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|，求P的极坐标解：(1)由题设可得，弧，所在圆的极坐标方程分别为2cos ，2sin ，2cos .所以M1的极坐标方程为2cos ，M2的极坐标方程为2sin ，M3的极坐标方程为2cos .(2)设P(，)，由题设及(1)知若0 ，则2cos ，解得；若 ，则2sin ，解得或；若 ，则2cos ，解得.综上，P的极坐标为或或或. 3.(2019福州市第一学期抽测)在平面直角坐标系xO
3、y中，直线l的参数方程为(t为参数，为l的倾斜角)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为4sin ，直线，(R)与曲线E分别交于不同于极点O的三点A，B，C.(1)若，求证：|OB|OC|OA|；(2)当时，直线l过B，C两点，求y0与的值解：(1)证明：依题意，|OA|4sin |，|OB|，|OC|，|OB|OC|4sin4sin4sin |OA|.(2)当时，直线与曲线E的交点B的极坐标为，直线与曲线E的交点C的极坐标为，从而，B，C两点的直角坐标分别为B(，1)，C(0，4)，直线l的方程为yx4，y01，.4(2019江西八所重点中学联考)在平面直角坐标
4、系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为2cos ，若极坐标系内异于O的三点A(1，)，B，C(1，2，30)都在曲线M上(1)求证：123；(2)若过B，C两点的直线的参数方程为(t为参数)，求四边形OBAC的面积解：(1)证明：由题意得12cos ，22cos，32cos，则232cos2cos2 cos 1.(2)由曲线M的极坐标方程得曲线M的直角坐标方程为x2y22x0，将直线BC的参数方程代入曲线M的直角坐标方程得t2t0，解得t10，t2，在平面直角坐标中，B，C(2，0)，则21，32，1.四边形OBAC的面积SSAOBSAOC12 s
5、in13sin.5在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l过点M(2，4)以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系中长度单位相同，曲线C的极坐标方程为sin22cos .(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|MB|40，求倾斜角的值解：(1)因为倾斜角为的直线过点M(2，4)，所以直线l的参数方程是(t是参数)因为曲线C的极坐标方程为sin22cos ，所以2sin22cos ，所以曲线C的直角坐标方程是y22x.(2)把直线的参数方程代入y22x，得t2sin2(2cos 8sin )t200，由题意知，0，设t
6、1，t2为方程t2sin2(2cos 8sin )t200的两根，则t1t2，t1t2，根据直线参数方程的几何意义知|MA|MB|t1t2|40，故或，又(2cos 8sin )280sin20，所以.6(2019湖南省五市十校联考)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为cos.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)过直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值解：(1)由cos，得2cos sin ，x2y2xy0，即圆C的直角坐标方程为.(2)设l上任意一点P(t，t2)，过P向圆C引切线，切点为Q，连接PC，CQ，
7、圆C的圆心为C，半径r，|PQ|2，即切线长的最小值为2.7(2019石家庄市模拟(一)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为.(1)求曲线C的极坐标方程；(2)当0r2时，若曲线C与射线l交于A，B两点，求的取值范围解：(1)由题意知曲线C的普通方程为(x2)2y2r2，令xcos ，ysin ，化简得24cos 4r20.(2)法一：把代入曲线C的极坐标方程中，得224r20.令44(4r2)0，结合0r2，得3r24.方程的解1，2分别为点A，B的极径，122，124r20，.3r24，04r21，
8、(2，)法二：射线l的参数方程为(t为参数，t0)，将其代入曲线C的方程(x2)2y2r2中得，t22t4r20，令44(4r2)0结合0r2，得3r24，方程的解t1，t2分别为点A，B对应的参数，t1t22，t1t24r2，t10，t20，.3r24，04r21，(2，)8(2019洛阳市统考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t是参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)设曲线C2经过伸缩变换得到曲线C3，M(x，y)是曲线C3上任意一点，求点M到曲线C1的距离的最大值解：(1)根据消参可得曲线C1的普通方程为x2y50，2，232sin24，将代入可得：x24y24.故曲线C2的直角坐标方程为y21.(2)曲线C2：y21，经过伸缩变换得到曲线C3的方程为y21，曲线C3的方程为y21.设M(4cos ，sin )，根据点到直线的距离公式可得点M到曲线C1的距离d2(其中tan 2)，点M到曲线C1的距离的最大值为2.