1、 专题：万有引力 一、选择题 1.人造地球卫星可以绕地球做匀速圆周运动，也可以沿椭圆轨道绕地球运动对于沿椭圆轨道绕地球运动的卫星，以下说法正确的是()A近地点速度一定等于7.9 km/sB远地点速度一定小于7.9 km/sC发射此卫星的速度一定大于7.9 km/sD近地点速度一定小于7.9 km/s 1误区警示错误地认为近地点速度就是近地卫星的运行速度，即第一宇宙速度，认为A正确不知道发射近地圆轨道卫星所需发射速度最小，认为C错误正确解析近地点是椭圆轨道上离地球较近的点，不一定是离地面很近的点，如果此近地点在地球表面附近，它的速度应大于7.9 km/s，这是因为7.9 km/s是卫星地面附近运
2、动时的速度，而椭圆轨道过此点做离心运动，故速度大于7.9 km/s.当近地点离地球较远时，其速度可以小于7.9 km/s.因为远地点一定不是离地面很近的点，而过这一点的圆轨道速度小于7.9 km/s.椭圆轨道过这一点做向心运动，故速度小于圆轨道速度，所以一定小于7.9 km/s，C正确因为此卫星的近地点在地面附近处速度大于7.9 km/s.故从地球上发射时，速度应大于7.9 km/s. 答案BC 2.设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比 A.地球与月球间的万有引力将变大 B.地球与月球间的
3、万有引力将变小 C.月球绕地球运动的周期将变长 D.月球绕地球运动的周期将变短 2.答案：BD 31970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M和远地点N的高度分别为439 km和2384 km，则() A卫星在M点的势能大于N点的势能 B卫星在M点的角速度大于N点的角速度 C卫星在M点的加速度大于N点的加速度 D卫星在N点的速度大小7.9 km/s 3解析：从M点到N点，地球引力对卫星做负功，卫星势能增加，选项A错误；由ma得，aMaN，选项C正确；在M点，mrNN2，故MN，选项B
4、正确；在N点，由得vN7.9 km/s，选项D错误答案：BC 4火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期为T1，神舟飞船在地球表面附近的圆形轨道运行周期为T2，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则T1与T2之比为()A. B. C. D. 4解析：设火星的质量为M1，半径为R1，地球的质量为M2，半径为R2，由万有引力定律和牛顿第二定律得GmR1，GmR2，解得选项D正确 答案：D 5北斗卫星导航系统第三颗组网卫星(简称“三号卫星”)的工作轨道为地球同步轨道，设地球半径为R，“三号卫星”的离
5、地高度为h，则关于地球赤道上静止的物体、地球近地环绕卫星和“三号卫星”的有关物理量下列说法中正确的是 () A赤道上物体与“三号卫星”的线速度之比为 B近地卫星与“三号卫星”的角速度之比为()2 C近地卫星与“三号卫星”的周期之比为 D赤道上物体与“三号卫星”的向心加速度之比为()2 5答案：C 6. 某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变.每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动.某次测量卫星的轨道半径为r1，后来变为r2,r2r1.以Ek1、Ek2表示卫星在这两个轨道上的动能，T1、T2表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期，则A.Ek2Ek1，T2T1 B.E
6、k2Ek1，T2T1C.Ek2Ek1，T2T1 D.Ek2Ek1，T2T1 6.答案：C 7. 用m表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，h表示它离地面的高度，R0表示地球的半径，g0表示地球表面处的重力加速度，0表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受地球对它的万有引力的大小A.等于0 B.等于m2C.等于m2D.以上结果都不对 7.答案：BC 8.如图所示，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是 ()A. B.()2C. D. 8.误区警示解本题时容易犯的错误是，不分青红皂白，
7、由于思维定势，对近地卫星、同步卫星、地球赤道上的物体均由Gmam分析得出结论，错选B.正确解析本题中涉及三个物体，其已知量排列如下：地球同步卫星：轨道半径r，运行速率v1，加速度a1；地球赤道上的物体：轨道半径R，随地球自转的向心加速度a2；近地卫星：轨道半径R，运行速率v2.对于卫星，其共同特点是万有引力提供向心力，有Gm，故 .对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同特点是角速度相等，有a2r，故. 答案AD正本清源卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，而赤道上的物体随地球自转，除受万有引力外，还受地面对它的支持力，即万有引力和支持力的合力提供物体做圆周运动的向心力，所以Gf(Mm,r2)m
8、a对同步卫星和近地卫星是适用的，但对赤道上的物体并不适用. 9.近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2.设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2，则 ()A.()4/3 B.()4/3C()2 D.()2 9解析：试题分析:解:人造卫星在地球的引力的作用下绕地球做圆周运动，则有，得:,忽略地球的自转，则有，可得:，所以， 故B正确。答案 B 10. 用m表示地球同步通信卫星的质量、h表示卫星离地面的高度、M表示地球的质量、R0表示地球的半径、g0表示地球表面处的重力加速度、T0表示地球自转的周期、0表示地球自转的角速度，则： （1）地球同步通信卫
9、星的环绕速度v为 A.0（R0+h） B. C. D. （2）地球同步通信卫星所受的地球对它的万有引力F的大小为 A.m B.m20（R0+h） C.m D.m （3）地球同步通信卫星离地面的高度h为 A.因地球同步通信卫星和地球自转同步，则卫星离地面的高度就被确定 B. -R0 C. -R0 D.地球同步通信卫星的角速度虽已确定，但卫星离地面的高度可以选择.高度增加，环绕速度增大，高度降低，环绕速度减小，仍能同步 10.错解分析：（1）把握不住解题的基本依据：地球对其表面物体的万有引力约等于物体所受重力，卫星圆周运动的向心力由万有引力提供，使问题难以切入.（2）思维缺乏开放性造成漏解.（3）
10、推理缺乏严密性导致错解. 解题方法与技巧：（1）设地球同步卫星离地心的高度为r, 则r=R0+h则环绕速度v=0r=0（R0+h）. 同步卫星圆周运动由万有引力提供向心力： 即G得v= 又有G=m02,所以r= 则v=0r=0=故选项A、B、C、D均正确.（2）地球同步卫星的重力加速度为g=（）2g0，地球对它的万有引力大小可认为等于同步卫星的重力mg0来提供向心力：即mg0=m02（R0+h） 所以h=-R0 F向=m02（R0+h）=m故选项A、B、C、D均正确. （3）因为h=-R0，式中R0、g0、0都是确定的，故h被确定. 但0=，所以h=-R0 故选项A，B，C正确.二、填空题11
11、.中子星是由密集的中子组成的星体，具有极大的密度.通过观察已知某中子星的自转速度=60rad/s，该中子星并没有因为自转而解体，根据这些事实人们可以推知中子星的密度.试写出中子星的密度最小值的表达式为=_，计算出该中子星的密度至少为_kg/m3.（假设中子通过万有引力结合成球状星体，保留2位有效数字）11. 32/4G；1.31014 12设地球绕太阳做匀速圆周运动，半径为R，速率为v，则太阳的质量可用v、R和引力常量G表示为_太阳围绕银河系中心的运动可视为匀速圆周运动，其运动速率约为地球公转速率的7倍，轨道半径约为地球公转轨道半径的2109倍为了粗略估算银河系中恒星的数目，可认为银河系中所有
12、恒星的质量都集中在银河系中心，且银河系中恒星的平均质量约等于太阳质量，则银河系中恒星数目约为_ 12解析：由牛顿第二定律Gm，则太阳的质量M.由GM则M银 因v太7v，r2109R，则1011.答案：1011三、计算题 13.俄罗斯“和平号”空间站在人类航天史上写下了辉煌的篇章，因不能保障其继续运行，3月23日坠入太平洋.设空间站的总质量为m，在离地面高度为h的轨道上绕地球做匀速圆周运动.坠落时地面指挥系统使空间站在极短时间内向前喷出部分高速气体，使其速度瞬间变小，在万有引力作用下下坠.设喷出气体的质量为 m，喷出速度为空间站原来速度的37倍，下坠过程中外力对空间站做功为W.求： （1）空间站
13、做圆周运动时的线速度. （2）空间站落到太平洋表面时的速度.（设地球表面的重力加速度为g，地球半径为R） 13.（1） （2）喷出气体后，空间站的速度变为v2，由动量守恒定律得一方程，设空间站落到太平洋表面时速度为v3，由动能定理建立另一方程，解得v3= 14.“嫦娥一号”探月卫星在空中运动的简化示意图如图所示卫星由地面发射后，经过发射轨道进入停泊轨道，在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道已知卫星在停泊轨道和工作轨道的运行半径分别为R和R1，地球半径为r，月球半径为r1，地球表面重力加速度为g，月球表面重力加速度为.求：(1)卫星在停泊轨道上运行的线速度；(2)卫星在工
14、作轨道上运行的周期14解析：(1)设卫星在停泊轨道上运行的线速度为v，卫星做圆周运动的向心力由地球对它的万有引力提供，得Gm，且有：Gmg，得：vr.(2)设卫星在工作轨道上运行的周期为T，则有：Gm()2R1，又有：Gm得：T.答案：(1)r(2) 15中国第一颗探月卫星“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心成功升空，18时29分“嫦娥一号”离开托举它的长征三号甲运载火箭，进入近地点205 km，远地点50 930 km的超地球同步轨道，开始了100万千米的奔月之旅 (1)用g表示月球表面的重力加速度，用R月表示月球的半径，用h表示“嫦娥一号”卫星在环月圆轨道上离月球表面的距离，试写出卫星进入环月圆
15、轨道后，运行的周期的表达式，要求写出推导过程 (2)在月球上要发射一颗环月卫星，则最小发射速度多大？(设月球半径约为地球半径的1/4，月球的质量约为地球质量的1/81，不考虑月球自转的影响，地表处的重力加速度g取10 m/s2，地球半径R地6 400 km，1.4，计算结果保留两位有效数字)15.解析(1)卫星进入环月圆轨道后，万有引力提供向心力G(R月r)由Gmg，可得T(2) 在地球表面附近mgm，得v8.0 km/s对地球近地卫星，对月球近月卫星，v v1.8 km/s 16.已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v2=,其中G、m、R分别是引力常量、地球的质量和半径.已知G=6.6
16、710-11Nm2/kg2,c=2.9979108 m/s.求下列问题：（1）逃逸速度大于真空中光速的天体叫作黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量m=1.981030 kg，求它的可能最大半径；（2）在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10-27 kg/m3，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？ 16.（1）由题目所提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度v2=，其中m、R为天体的质量和半径.对于黑洞模型来说，其逃逸速度大于真空中的光速 ，即 v2c，所以R=m=2.94103 m即质量
17、为1.981030 kg的黑洞的最大半径为2.94103 m. （2）把宇宙视为普通天体，则其质量m=V=R3其中R 为宇宙的半径，为宇宙的密度，则宇宙的逃逸速度为v2=由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c，即v2c则由以上三式可得R=4.011026 m,合4.241010光年.即宇宙的半径至少为4.241010光年. 17. 1986年2月20日发射升空的“和平号”空间站，在服役15年后于2001年3月23日坠落在南太平洋.“和平号”风风雨雨15年铸就了辉煌业绩，已成为航天史上的永恒篇章.“和平号”空间站总质量137 t，工作容积超过400 m3，是迄今为止人类探索太空规模最大的航天器，有
18、“人造天宫”之称.在太空运行的这一“庞然大物”按照地面指令准确坠落在预定海域，这在人类历史上还是第一次.“和平号”空间站正常运行时，距离地面的平均高度大约为350 km.为保证空间站最终安全坠毁，俄罗斯航天局地面控制中心对空间站的运行做了精心安排和控制.在坠毁前空间站已经顺利进入指定的低空轨道，此时“和平号”距离地面的高度大约为240 km.设“和平号”沿指定的低空轨道运行时，其轨道高度平均每昼夜降低2.7 km.设“和平号”空间站正常运转时沿高度为350 km圆形轨道运行，在坠落前沿高度为240km的指定圆形低空轨道运行，而且沿指定的低空轨道运行时，每运行一周空间站高度变化很小，因此计算时对
19、空间站的每一周的运动都可以作为匀速圆周运动处理. （1）简要说明，为什么空间站在沿圆轨道正常运行过程中，其运动速率是不变的. （2）空间站沿正常轨道运行时的加速度与沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值多大？计算结果保留2位有效数字. （3）空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均变化多大？计算中取地球半径R=6.4103 km，计算结果保留1位有效数字. 17解题方法与技巧：（1）空间站沿圆轨道运行过程中，仅受万有引力作用，所受到的万有引力与空间站运行方向垂直，引力对空间站不做功，因此空间站沿圆轨道运行过程中，其运动速率是不变的.（2）不论空间站沿正常轨道运行，还是沿指定
20、的低空轨道运行时，都是万有引力恰好提供空间站运行时所需要的向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有G=ma空间站运行时向心加速度是a=G空间站沿正常轨道运行时的加速度与在沿指定的低空轨道运动时加速度大小的比值是 =0.9842=0.97（3）万有引力提供空间站运行时的向心力，有G=mr不计地球自转的影响，根据G =mg，有GM=R2g则指定的低空轨道空间站运行的周期为T=2r=2r=5.3103s设一昼夜的时间t，则每昼夜空间站在指定的低空轨道绕地球运行圈数为n=空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均减小 h=2.7 km/n=2.7 km/17=0.2 km 18. 2
21、000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98的经线在同一平面内.若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98和北纬=40，已知地球半径R、地球自转周期T、地球表面重力加速度g（视为常量）和光速c.试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）. 18.解析：设m为卫星质量，M为地球质量，r为卫星到地球中心的距离，为卫星绕地心转动的角速度，由万有引力定律和牛顿定律有，G=mr2式中G为万有引力恒量，因同步卫星绕地心转动的角速度与地球自转的角速度相等，有=因G=mg得GM=gR2，r=（）设嘉峪关到同步卫星的距离为L，如图所示，由余弦
22、定理得，L=所示时间为，t=（式中c为光速）由以上各式得t= 19.经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离.一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统来处理.现根据对某一双星系统的光度学测量确定：该双星系统中每个星体的质量都是m，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动. （1）试计算该双星系统的运动周期T计算； （2）若实验上观测到的运动周期为T观测，且T观测：T计算=1：（N1）.为了解释 T观测与T计算的不同，目前有
23、一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质.作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质.若不考虑其他暗物质的影响，请根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度.19.解析：首先应明确此双星系统的结构模型，如图所示。由于每个星体的线度都小于两星体之间的距离，满足万有引力定律的使用条件.（1）双星均绕它们连线的中点做圆周运动，设运动的速率为v，得mv=T计算=L（2）根据观测结果，星体的运动周期T观测=T计算T计算这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m,位于中点O处的质点的作用相同.考虑暗物质作用后双星的速度即为观察到的速度v观测，则有mv观测=因为在周长一定时，周期和速度成反比，由式得把式代入式得m=m设所求暗物质的密度为，则有m故=
