1、第四节 函数的奇偶性与周期性 1.函数的奇偶性定义 一般地，图像关于原点对称的函数叫做奇函数，如果函数是奇函数，则一定满足 ；图像关于y轴对称的函数叫做偶函数，如果f(x)是偶函数，则一定满足 ，当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性.基础梳理f(x)f(x)f(x)f(x)2.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于对称.（2）若奇函数的定义域包含数0,则f(0)=.(3)在公共定义域内，两个奇函数之积（商）为 函数；两个偶函数之积（商）为 函数；一奇一偶函数之积（商）为 函数.（取商时分母不为零）奇 原点0偶偶（4）奇函数在关于原点对称区间上的单调性 ，偶函数在关于
2、原点对称区间上的单调性 .相反一致3.周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在,使得当x取时，都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数.定义域内每一个值 一个非零常数T f(xT)f(x)4.求函数周期的几个常用结论f(x+a)=-f(x)函数f(x)的周期T=2a.f(x+a)=函数f(x)的周期T=2a.f(x+a)=f(x-a)函数f(x)的周期T=2a.同时要注意与下列结论的区别:f(x+a)=f(-x)函数f(x)的图象的对称轴x=;f(x+a)=-f(-x)函数f(x)的图象的对称中心为.1()f x2a(,0)2a1.(教材改编题)下面四个结论中，正确命题的个数是()偶函数的
3、图象一定与y轴相交；函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)0；偶函数的图象关于y轴对称；既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)0(xR)A.1 B.2 C.3 D.4基础达标A 解析：错误，如函数f(x)是偶函数，但其图象与y轴 没有交点；错误，因为奇函数的定义域可能不包含原点；正确；错误，既是奇函数又是偶函数的函数也可以为f(x)0，x(a，a)21x2.(教材改编题)已知函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，且其定义域为a1,2a，则()A.a，b0 B.a1，b0C.a1，b0 D.a3，b013A 解析：由f(x)ax2bx3ab为偶函数，得b0.又定义域为a1,2a，(a1)2
4、a0，a.133.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x，则f(x)在R上的表达式是()A.yx(x2)B.yx(|x|2)C.y|x|(x2)D.yx(|x|2)D 解析：当x0时，f(x)x22x.f(x)是定义在R上的奇函数，当x0，f(x)f(x)(x22x)x(x2)，f(x)即f(x)x(|x|2)(2),0(2),0 x xxxxx 4.函数f(x)x3sin x1(xR)，若f(a)2，则f(a)的值为()A.3 B.0 C.1 D.2f(x)1x3sin x为奇函数，又f(a)2，f(a)11，f(a)11，即f(a)0.B 解析：5.设f(x)(xR)
5、是以3为周期的奇函数，且f(1)1，f(2)a，则()A.a2 B.a2 C.a1 D.a1f(2)f(23)f(1)f(1)a，f(1)a，又f(1)1，a1.a1，故选D.D 解析：经典例题题型一 判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性(1)；(2)+；1()(1)1xf xxx22()11f xxx解：(1)由，得定义域为1,1)，关于原点不对称，f(x)为非奇非偶函数(2)由x21x1，f(x)0，f(x)既是奇函数又是偶函数101xx221010 xx 变式11 判断函数f(x)log2(x)的奇偶性21x|x|，x0，函数的定义域为R.又f(x)f(x)log2xlog2(x
6、)log210，f(x)f(x)，f(x)为奇函数21x 21x 21x 2()1x解析：题型二 奇偶性的应用【例2】(1)已知函数f(x)(a，b，cZ)是奇函数，又f(1)2，f(2)3，求a，b，c的值；(2)已知偶函数f(x)在(0，)上是增函数，且f(3x1)f(2x)，求x的取值范围21axbxc解：(1)由f(x)f(x)，得bxc(bxc)，c0.又f(1)2，得a12b，而f(2)3，得，解得1a2.又aZ，a0或a1.若a0，则bZ，应舍去；若a1，则b1Z.a1，b1，c0.4131aa 12(2)f(x)是偶函数且在(0，)上是增函数，由f(3x1)f(2x)，得f(|
7、3x1|)f(|2x|)，因而有|3x1|2x|，化简得5x26x10，解得x或x1.则x的取值范围为(1，)151(,)5变式2-1 若f(x)是奇函数，且在(-，0)上是增函数，又f(-2)=0，求满足(x+1)f(x-1)0的x的取值范围解析：画出函数f(x)的草图由(x+1)f(x-1)01010 xf x 101)0 xf x 或 121012xxx 或112012xxx 或或 即x的取值范围为x|x-1或-1x1或x3(2011湖南雅礼中学月考)定义在R上的偶函数f(x)，当x0时，f(x)=2x，则满足f(1-2x)f(3)的x取值范围是()A.(-1,2)B.(-2,1)C.-
8、1,2 D.(-2,1解析：f(x)为偶函数，f(x)=f(|x|)，f(1-2x)f(3)，即f(|1-2x|)f(3)，又当x0时，f(x)=2x为增函数，|1-2x|3，-32x-13，-1x2.故选A.变式22A题型三 函数的周期性【例3】已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+4)=f(x)，当x(0,2)时，f(x)=则f(7)=()22xA -2 B 2 C -98 D 98 解f(7)=f(8-1)=f(-1)=-f(1)所以f(7)=-2。故选A易错警示【例】判断函数f(x)的奇偶性错解 当x0时，f(x)(x)22(x)3(x22x3)f(x)；当x0时，f(x)(x)22(x)3(x22x3)f(x)函数f(x)是奇函数2223,0223,0 xxxxxx答案：f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2010山东)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)()A.3 B.1 C.1 D.3知识准备：1.知道奇函数的定义及奇函数在原点处有定义时f(0)0；2.知道要求f(1)时转化为求f(1)链接高考f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0，b1，此时f(x)2x2x1(x0)，f(1)f(1)(2121)3.A 解析：