1、4空间图形的基本关系与公理4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理第1课时空间图形的公理(公理1、2、3)1.通过长方体这一常见的空间图形，了解空间图形的基本构成点、线、面的基本位置关系.2.理解异面直线的概念，以及空间图形的基本关系.(重点、易错点)3.掌握空间图形的公理1、2、3.(重点、难点)基础初探教材整理1空间图形的基本关系阅读教材P22P23“练习”以上部分，完成下列问题.位置关系图形表示符号表示点与线的位置关系点A不在直线a上Aa点B在直线a上Ba点与面的位置关系点A在平面内A点B在平面外B直线与直线的位置关系平行ab相交abO异面a与b异面直线与平面的位置关系线在面内a
2、线面相交aA线面平行a平面与平面的位置关系面面平行面面相交a(1)不平行的两条直线的位置关系为相交.()(2)两个平面的交线可以是一条线段.()(3)直线l在平面内，可以表示为“l”.()(4)平面内的直线与不在该平面内的直线互为异面直线.()【解析】(1)不平行的两条直线的位置关系为相交或异面，故(1)错.(2)两个平面的交线是直线，故(2)错.(3)正确.(4)可能相交或平行，故(4)错.【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2空间图形的公理阅读教材P23“练习”以下至P25“公理4”以上部分，完成下列问题.1.三个公理：名称内容图形表示符号表示公理1过不在一条直线上的三点，有且只有一个
3、平面(即可以确定一个平面)若A，B，C三点不共线，则点A，B，C确定一个平面使A，B，C公理2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)若Al，Bl，A，B，则l 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线若A，A，且与不重合，则l，且Al.2.公理1的三个推论：推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面.推论2：两条相交直线确定一个平面.推论3：两条平行直线确定一个平面.公理1及其推论给出了确定平面的依据.两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A.相交B.重合C.相交或重合D.以上都不对【解析】若三个点在同一条直线上，则两平面
4、可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合.【答案】C小组合作型空间点、线、面的位置关系(1)如果a，b，laA，lbB，那么l与的位置关系是_.图141(2)如图141，在正方体ABCDABCD中，哪几条棱所在的直线与直线BC是异面直线？【精彩点拨】(1)把文字语言翻译成图形语言，作出判断；(2)可借助空间中的实物模型判断.【自主解答】(1)如图，l上有两点A，B在内，根据公理2，l.【答案】直线l在平面内(2)棱DC，AB，AA，DD，AD，AD所在的直线与直线BC是异面直线.1.判断空间点、线、面之间的位置关系要善于根据题意画出示意图，充分发挥空间想象能力，对位置关系做出判断.
5、2.对于异面直线，它们“不同在任何一个平面内”，注意对关键词“任何”的理解.再练一题1.根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A，B；(2)l，mA，Al；(3)Pl，P；Ql，Q.【解】(1)点A在平面内，点B不在平面内；(2)直线l在平面内，直线m与平面相交于点A，且点A不在直线l上；(3)直线l经过平面外一点P和平面内一点Q.图形分别如图(1)(2)(3)所示.点线共面问题证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内. 【导学号：39292015】【精彩点拨】先说明两条相交直线确定一个平面，然后证明另外一条直线也在该平面内.或利用公理1的推论，说明
6、三条相交直线分别确定两个平面，然后证明，重合.【自主解答】已知：如图所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.法一：l1l2A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，Bl2又l2，B.同理可证C，又Bl3，Cl3，l3.直线l1，l2，l3在同一平面内.法二：l1l2A，l1，l2确定一个平面.l2l3B，l2，l3确定一个平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可证，B，B，C，C.不共线的三个点A，B，C既在平面内，又在平面内，平面和平面重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有：(1)先由
7、部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；(2)先由其中一部分点、线确定一个平面，其余点、线确定另一个平面，再证平面与重合，即用“同一法”；(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”.再练一题2.已知Al，Bl，Cl，Dl(如图142)，求证：直线AD，BD，CD共面.图142【证明】因为Dl，所以D和l可确定一平面，设为.因为Al，所以A.又D，所以AD.同理BD，CD，所以AD，BD，CD都在平面内，即它们共面.探究共研型点共线与线共点问题探究1如图143所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，那
8、么点P，B，D共线吗？请说明理由.图143【提示】连接BD.EF，HG相交于一点P，且EF平面ABD，GH平面CBD，P平面ABD且P平面CBD.又平面ABD平面BCDBD，PBD，点P，B，D共线.探究2如图144，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，能否判断B，Q，D1三点共线？图144【证明】D1平面ABC1D1，D1平面A1D1CB，B平面ABC1D1，B平面A1D1CB，平面ABC1D1平面A1D1CBBD1.A1C平面ABC1D1Q，且A1C平面A1D1CB，Q平面A1D1CB，Q平面ABC1D1，Q在两平面的交线BD1上，B，Q，D1三点共线
9、. 已知ABC在平面外，它的三边所在的直线分别交平面于P，Q，R(如图145).求证：P，Q，R三点共线.图145【精彩点拨】解答本题可以先选两点确定一条直线，再证明第三点也在这条直线上.【自主解答】证明：法一：ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由公理3可知，点P在平面ABC与平面的交线上.同理可证Q，R也在平面ABC与平面的交线上.P，Q，R三点共线.法二：APARA，直线AP与直线AR确定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B平面APR，C平面APR，BC平面APR.又Q直线BC，Q平面APR.又Q，QPR，P，Q，R三点共线.证明多点共线主要采用如下两
10、种方法：一是首先确定两个平面，然后证明这些点是这两个平面的公共点，再根据公理3，这些点都在这两个平面的交线上；二是选择其中两点确定一条直线，然后再证明其他的点都在这条直线上.证明三线共点问题的方法主要是：先确定两条直线交于一点，再证明该点是这两条直线所在平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线.再练一题3.如图146所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点.求证：CE，D1F，DA三线交于一点.图146【提示】如图，连接EF，D1C，A1B.E为AB的中点，F为AA1的中点，EFA1B.又A1BD1C，EFD1C，E，F，D1，C四点共面，且EFD1C，D1
11、F与CE相交于点P.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.又平面A1D1DA平面ABCDDA，根据公理3，可得PDA，即CE，D1F，DA三线交于一点.1.下列图形中不一定是平面图形的是()A.三角形B.菱形C.梯形D.对边相等的四边形【解析】对四边相等的四边形可以是空间四边形.【答案】D2.若点Q在直线b上，b在平面内，则Q，b，之间的关系可记作()A.QbB.QbC.QbD.Qb【解析】点Q(元素)在直线b(集合)上，Qb.又直线b(集合)在平面(集合)内，b，Qb.【答案】B3.设平面与平面交于直线l，A，B，且直线ABlC，则直线AB_.【解析】l，ABlC，C，CAB，ABC.【答案】C4.若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是_.【解析】两条直线a，c都与同一条直线b是异面直线，则这两条直线平行、相交或异面都有可能.【答案】平行、相交或异面5.已知直线ab，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面. 【导学号：39292016】【证明】如图所示.ab，直线a，b确定一个平面，证这个平面为.设alA，blB，A，B，且Al，Bl，l.即过a，b，l有且只有一个平面.
