1、试卷第 1 页，共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 2024 届高三年级第一学期周考（实验班）数学试卷 命题人：韩国闰 审题人：何顶祥 许成来 油印：日期：2023.8.6 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设全集U=R，集合2Ax yx=，2,xBy yxA=，则 AB=（）A(,2 B)2,+C2,4 D(0,22已知 ab，则（）A22ab BeeabC()()ln1ln1ab+D a ab b，则 01a 是()f x 有 3 个零点的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也
2、不必要条件 4若命题：“存在整数 x 使不等式()()2440kxkx=+，关于 x 的方程()()22210f xmf xm+=恰有 4 个零点，则 m 的取值范围是（）A()()0,12,4 B()()0,11,3 C()0,12,4 D0,37已知788log 8,log 97abc=，则,a b c 的大小关系为（）A abc BcbaC acb Dbac8已知2()2(ln)xef xtxxxx=+恰有一个极值点为 1，则t 的取值范围是（）A1(46e ，B10,4C1046e ，D1(,4二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项
3、符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。9下列说法正确的是（）A若11223aa+=，则13 5aa=.B若22log 3,log 7ab=，则423log 561bab+=+.C命题2:2,1,0pxxxm +成立的充要条件是2m.D已知0,0,1abab+=，则1abab+的最小值为 2 22+.10函数()21 exykx=+的图像可能是（）A B C D 11已知函数()22 lnf xa xx=+，则下列说法正确的是（）A当1a=时，函数()yf x=的单调增区间为()1,+B当1a=时，函数()yf x=的极小值为 1 C若()f x 在定义域
4、内不单调，则(),0a D若对120 xx有()()()12122f xf xxx成立，则1,4a+12已知函数()1eexxf x=+，则（）A()()=f xfx B()f x 的最小值为 2eC()()f x fx的最小值为 4 D()f x 在区间()1,0上单调递增 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知条件:11p kxk ，()g xmx=，若函数(1)()yf xg x=恰有 2 个零点，则实数 m 的取值范围为 .四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知集合 A 为不等式 49 280 xx+的
5、解集，(1)若集合21RBx mxmm=，且 BAB=，求 m 的取值范围；(2)求函数()1114?242xxf x=+，在定义域 A 上的值域.18已知函数()()3log31xf xmx=+是偶函数(1)求 m 的值；(2)设函数()()311log322xg xaaxf x=+（Ra），若()g x 有唯一零点，求实数 a 的取值范围 19疫情后全国各地纷纷布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以 30 天计），每件的销售价格()P x（单位：元）与时间
6、x（单位：天）的函数关系近似满足()1(kP xkx=+为常数，且0)k，日销售量()Q x（单位：件）与时间 x（单位：天）的部分数据如表所示：x（天)1 14 18 22 26 30()Q x122 135 139 143 139 135(1)给出以下四个函数模型：()Q xaxb=+；()|Q xa xmb=+；()xQ xab=+；()logbQ xax=请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量()Q x 与时间 x 的变化关系，并求出该函数的解析式；(2)已知第 1 天的日销售收入为 244 元设该工艺品的日销售收入为()f x（单位：元），求()f x
7、 的最小值 20已知函数()1lnxf xxax=+（Ra且0a），()()11exg xbxxx=()Rb(1)讨论函数()f x 的极值；(2)当1a=时，若()()2f xg x+在()0,x+上恒成立，求实数 b 的取值范围.21已知函数()2lnf xaxxx=+.(1)若1a=，求函数()f x 在1x=处的切线方程；(2)若()21f xx 恒成立，求 a 的值；(3)求证：对任意正整数 n（2n），都有222211111111234en +.22已知函数()()ln,Rf xxxaxa=.(1)若()f x 有两个极值点()1212,x xxx.答案第 1 页，共 7 页 学科
8、网（北京）股份有限公司参考答案：1D 2D 3A 4B 5D 6C 7D 8D 9ABD 10ABC 11ABC 12CD 134,2 14e 1532194,2ee 161(,22 2)e 17（1）49 280 xx+，即()229 280 xx+128x，即0,3A=又 BAB=，BA，当 B=时，21,1mmm，所以0a，令3xt=，则得211102atat+=，当0a 时，1302x，即12t，所以方程211102atat+=在区间 1,2+上有唯一解，则方程对应的二次函数()21112m tatat=+，恒有()010m=，13022m=，所以当0a 时，方程211102atat+
9、=在区间 1,2+上有唯一解 当0a 时，1302x，即102t，方程211102atat+=在区间10,2上有唯一解，因为方程对应的二次函数()21112m tatat=+的开口向下，恒有()010m=，13022m=，所以满足恒有2114021112022aaaa=+=+或104 6a=时，()g x 有唯一零点 19（1）解：该工艺品在过去的一个月内（以 30 天计），每件的销售价格()P x（单位：元）与时间 x（单位：天）的函数关系近似满足()1(kP xkx=+为常数，且0)k，日销售量()Q x（单位：件）与时间 x（单位：天）的部分数据如表所示：答案第 3 页，共 7 页 学科
10、网（北京）股份有限公司x（天)1 14 18 22 26 30()Q x122 135 139 143 139 135 由表格中的数据知，当时间 x 变长时，()Q x 先增后减，函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型，所以选择模型：()|Q xa xmb=+，由函数图象对称性可知22m=，又由表格可知()18139Q=，()14135Q=，代入()22Q xa xb=+，得41398135abab+=+=，解得1a=，143b=，所以日销售量()Q x 与时间 x 的变化的关系式为()22143(130Q xxx=+，*N)x.（2）因为第 1 天的日销售收入为 244 元，则 112
11、22441k+=，解得1k=，则1()1p xx=+，由（1）()22143Q xx=+，知()*121,122,N22143165,2230,NxxxQ xxxxx+=+=，由()()()*121 122,122,N165164,2230,Nxxxxf xP xQ xxxxx+=+，当122x，*Nx时，()1211211222122144f xxxxx=+=，当且仅当121xx=时，即11x=时等号成立，当 2230 x，*Nx时，()165164f xxx=+为减函数，所以函数的最小值为()()30139.5144minf xf=，综上可得，当30 x=时，函数()f x 取得最小值 1
12、39.5 元 20（1）()f x 的定义域为()0,+，()22111axfxxaxax=当0a 时，由()0fx=可得：1xa=，答案第 4 页，共 7 页 10,xa时，()0fx，()f x 为减函数；1,xa+时，0fx，()f x 为增函数()f x 没有极大值，仅有一个极小值，()11ln1f xfaaa=+极小值；综上所述：当0a 时，()11ln1f xfaaa=+极小值，无极大值.（2）当1a=时，()()()11ln1e2xxf xg xxbxxxx+=+分离参数得：ln1e1,0 xxbxxx+.令()ln1e1xxxxx=+，则()22elnxxxxx+=，令()2e
13、lnxr xxx=+，则()()212e0 xrxxxx=+，()r x 在()0,+上为增函数，由于1 2e1e10er=，所以01,1ex，使得()00r x=.当()00,xx时，()0r x，()0 x，()0 x，()x为增函数，()()000min00ln1e1xxxxxx=+，由()00r x=可得：0200eln0 xxx+=，从而()00ln000011elnlnexxxxxx=（*），令()exh xx=，则（*）可表示为：()()00lnh xhx=，()0,x+，()()10 xh xxe=+，故()h x 为增函数，从而00lnxx=，也即001exx=，()0min
14、0001112xxxxx=+=，从而2b.21（1）由()2lnf xaxxx=+得()221afxxx=，由1a=得()11 1 2=2f=，又 1=1 2=1f，答案第 5 页，共 7 页 学科网（北京）股份有限公司所以切线方程为()121yx=，即230 xy+=（2）由()21f xx 恒成立可得 ln10axx+恒成立，记()ln1h xaxx=+，则()1aaxh xxx=，当0a 时，()0h x不符合题意，故舍去，当0a 时，当()0,xa时，()0h x,当 0 xa,hx，故()h x 在()0,a 单调递增，在(),a+单调递减，故 maxln10h xh aa aa，记
15、 ln1lng aa aagaa,，当1a 时，()0ga，当 010a,ga，所以()g a 在()01，单调递减，在()1+，单调递增，故()()10g ag=，因此()0g a=，又()10g=，所以1a=，（3）记()ln1F xxx=+，则()111xFxxx=，当()0,1x时，()0Fx,当 10 x,Fx，故()F x 在()0,1 单调递增，在()1,+单调递减，故 10ln1F xFxx，当且仅当1x=取等号，令211xn=+，则222111ln 111nnn ，所以222222111111111ln 1ln 1ln 123231 22 31nnn n，由于11111111
16、1=1=111 22 312231n nnnn,所以222111ln 1ln 1ln 11lne23n，即222211111111e234n +22（1）因为()()lnf xxxax=，所以()1lnln21fxxaxxaxaxx=+=+.令()()ln21g xfxxax=+，则()12gxax=.因为()f x 有两个极值点，()212xxx，所以()0g x=有两个不等正实根()1212,x xxx时，令()0gx=得12xa=当102xa，则()g x 在10,2a上为增函数；当12xa时，()0gx，则()g x 在1,2a+上为减函数；所以12xa=时，()g x 取极大值，即为
17、最大值为()1ln 22gaa=.所以()0g x=有两个不等正实根()1212,x xxx，解得102a.当102a，因为120eeag=，所以1102egga，由零点存在性定理知：存在唯一的111,2exa，使得()10g x=成立.因为()ln21221g xxaxxax=+且()00g x，所以()0102gg xa，由零点存在性定理知：存在唯一的201,2xxa，使得()20g x=成立.所以102a时，()0g x=有两个不等正实根12,x x.综上，实数a 的取值范围是102a.（2）由（1）知102a，且12102xxa因为()g x 在10,2a上为增函数，及()1120ga
18、=，所以11，所以21112xxa.因为()()120,0g xg x=，所以1122ln210,ln210 xaxxax+=+=.所以()1212lnln2xxa xx=，所以12121212lnln2xxxxaxx+=.所以()()2112211123222xxxxxxaaa=+=.答案第 7 页，共 7 页 学科网（北京）股份有限公司其中()()1212121122122121lnlnlnln211xtxxxxxxtxxxtxx+（其中121xtx=）构造函数()()()21ln,(01)1tg tttt=+，则()22214(1)(1)(1)tg tttt t=+.因为01t，所以函数()g t 在()0,1 上单调递增，故()()10g tg=，从而不等式121212lnln2xxxxxx+.
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