1、二项式定理一、选择题1(2021北京清华附中高三模拟)在的二项展开式中，含x2项的系数为()A B C DC的二项展开式的通项公式为Tr1C(1)r2r6Cx，令12r2，解得r4，则含x2项的系数为(1)422C2(2021安徽合肥高三期末)在二项式的展开式中，有理项共有()A3项 B4项 C5项 D6项A的展开式的通项公式为Tr1C(2)12r212rCx，可知当r0,6,12时，66或1或4，可得有理项共有3项3(2021贵州省瓮安中学高三模拟)当a为常数时，展开式中常数项为15，则a()A2 B1 C1 D1D因为展开式的通项为C(ax)rarCx3r12，令3r120，所以r4，所以
2、常数项为a4C15，所以a41，所以a1，故选D4(2021黑龙江哈尔滨高三三模)若(a2x2)(1x)n(nN*)的展开式中各项系数之和为256，且常数项为2，则该展开式中x4的系数为()A30 B45 C60 D81C令x0，得a2，所以(a2x2)(1x)n(22x2)(1x)n，令x1，得42n256，所以n6，故该展开式中x4的系数为2C2C60，故选C5(2021江西南昌高三二模)已知等差数列an的第5项是展开式中的常数项，则该数列的前9项的和为()A160 B160 C1 440 D1 440D展开式中的常数项为C(2x)3160，所以a5160，S99a51 4406已知的展开
3、式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A80 B40 C40 D80D令x1，得展开式的各项系数和为1a，1a2，a1，所求展开式中常数项为的展开式的常数项与x项的系数和，展开式的通项为Tr1C(2x)5r(1)r(1)r25rCx52r，令52r1得r2；令52r0，无整数解，展开式中常数项为8C80，故选D7若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，则a2a4a12()A284 B356 C364 D378C令x0，则a01；令x1，则a0a1a2a1236，令x1，则a0a1a2a121，两式左右分别相加，得2(a0a2a12)361730，所以a0a2a12365又a01
4、，所以a2a4a12364二、填空题8(2021浙江高考)已知多项式(x1)3(x1)4x4a1x3a2x2a3xa4，则a1 ，a2a3a4 510(x1)3展开式的通项Tr1Cx3r(1)r，(x1)4展开式的通项Tk1Cx4k，则a1CC145；a2C(1)1C3；a3C(1)2C7；a4C(1)3C0所以a2a3a4370109在的展开式中，含x5项的系数为 6由CCCCC，可知只有C的展开式中含有x5，所以的展开式中含x5项的系数为CC610在(xy)n的展开式中，若第7项系数最大，则n的值可能等于 11,12,13根据题意，分三种情况：若仅T7系数最大，则共有13项，n12；若T7
5、与T6系数相等且最大，则共有12项，n11；若T7与T8系数相等且最大，则共有14项，n13所以n的值可能等于11,12,131已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10若数列a1，a2，a3，ak(1k11，kZ)是一个单调递增数列，则k的最大值是()A5 B6 C7 D8B由二项式定理知anC(n1,2,3，11)又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，a6C，则k的最大值为62已知(2xm)7a0a1(1x)a2(1x)2a7(1x)7，若a0128，则下列等式不成立的是()Am2Ba3280Ca01Da12a23a34a45a56a67a714A令1x，即x，可得(1m)7
6、a0128，得m3，则令x1，得a0(1)71(2x3)712(1x)7，所以a3C(1)73(2)3280对(2x3)7a0a1(1x)a2(1x)2a7(1x)7两边求导得14(2x3)6a12a2(1x)7a7(1x)6，令x2，得a12a23a34a45a56a67a7143(1ax)2(1x)5的展开式中，所有x的奇数次幂项的系数和为64，则正实数a的值为 ，展开式中x2项的系数为 311设(1ax)2(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5a6x6a7x7，令x1得0a0a1a2a3a4a5a6a7，令x1得(1a)225a0a1a2a3a4a5a6a7，得：(1a)2
7、252(a1a3a5a7)，又a1a3a5a764，所以(1a)225128，解得a3或a1(舍)，则(13x)2(1x)5的展开式中x2项的系数为C32C3C(1)C30C(1)2114若x10x5a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10，则a5 251x10x5(x1)110(x1)15，则a5CC25212511中国南北朝时期的著作孙子算经中，对同余除法有较深的研究设a，b，m(m0)为整数，若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为ab(mod m)若aCC2C22C220, ab(mod 10)，则b的值可以是()A2 011 B2 012C2 013 D2 0
8、14A因为a(12)20320910(101)10C1010C109C101，所以a被10除所得的余数为1观察各选项，知2 011被10除得的余数是1，故选A2已知 (a0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法错误的是()A展开式中奇数项的二项式系数和为256B展开式中第6项的系数最大C展开式中存在常数项D展开式中含x15项的系数为45A因为的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，所以CC，得n10因为展开式中各项系数之和为1 024，所以令x1，得(a1)101 024，得a1故给定的二项式为，其展开式中奇数项的二项式系数和为210512，故A不正确由n10可知二项式系数最大的项是展开式的第6项，而展开式的系数与对应的二项式系数相等，故B正确展开式的通项公式为Tk1C(x2)10kCx (k0,1,2，10)，令200，解得k8，即常数项为第9项，故C正确令2015，得k2故展开式中含x15项的系数为C45故D正确