1、4.4.2 对数函数的图象和性质（一）教学内容 对数函数的图象和性质（二）教学目标1 掌握对数函数的图像和性质；能利用对数函数的图像与性质来解决简单问题;2 能够用对数函数的性质去解决问题。（三）教学重点及难点1.教学重点对数函数的图像、性质及其应用2.教学难点对数函数图像和性质与底数a的关系。（四）教学过程设计问题1 ：我们已经学习对数函数的概念，类比指数函数的学习过程，我们可以怎样研究对数函数？师生活动：（1）学生思考后回答。先作函数图象，然后根据图象研究函数性质（包括定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点、图象的其他变化特征等方面）。（2） 追问1：如何得到对数函数的图象？由特殊到一般的研
2、究方法。（3） 追问2：选取哪些特殊的对数函数来研究？（4） 追问3：通过什么方法得到这个对数函数的图象？（5） 学生小组内进行讨论，上台展示。x1242-101来源:2设计意图：培养学生的能力，达到对函数概念以及指数函数的巩固的目的，并为本节课的研究理清思路。问题2：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y轴对称对于底数互为倒数的两个对数函数， 比如 和的图像，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？师生活动：（1）学生分组讨论思考后回答。利用换底公式，可以得到，因为点（x,y）与（x,-y）关于x轴对称，所以图象上任意一点P（x,y）关于
3、x轴的对称点Q（x,-y）都在的图象，反之亦然。由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称。根据这种对称性就能利用的图象画出的图象（2）追问1：函数以及的图象关于轴对称，可以解释吗？利用换底公式可以解释。在函数的图象上任取一点（x1，y1），则，所以点（x1，-y1）在函数的图象上。又点（x1，y1）和点（x1，-y1）关于轴对称，所以这两个函数图象关于轴对称。设计意图：尝试用代数的形式分析直观现象，数形结合，培养学生思维的严谨性。问题3：我们已经得到了和的图象，如何得到的图象呢？师生活动：（1）选取底数a（a，且a）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象观察
4、这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性。（2） 追问1：你能概括出对数函数（a，且a）的值域和性质吗？ 学生概括后展示。图 象定义域值 域过定点单调性在上单调递减在上单调递增奇偶性非奇非偶函数值的分布当时， 当时，当时，当时， 设计意图：通过对特殊的对数函数图像观察，归纳出对数函数的性质；发展学生数学抽象、数学建模和逻辑推理等核心素养。问题4：对数函数(a0,且a1)，当底数越大时，函数图像间有什么样的关系？师生活动：选取底数为3,4，的对数函数，画出相应的函数图象，得到结论。对数函数(a0,且a1)，当底数越大时，在第一象限的函数图像越低（底大图低）。设计意图：让学生明确底数对对数
5、函数图象的影响，提升直观想象和逻辑推理素养。问题4：我们已经得到了对数函数的图象与性质，你能利用图像与性质比较两个值的大小吗？师生活动：（1）例1 比较下面两个值的大小 ，； ， ，( a0 , a1 )解：（1）和可以看作函数y=log 2 x 的两个函数值。 因为a=2 1,函数y=log 2 x是增函数且3.48.5，所以 log23.4 log28.5。（2）和可以看作函数y=log 0.3 x 的两个函数值。 因为a=0.3 1, 函数y=log 0.3 x 是减函数且1.8 log 0.3 2.7 。 （3） log a 5.1和 log a 5.9 可看作函数y=log a x的
6、两个函值 , 对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论;当a 1时, 因为y=log a x是增函数，且5.1 5.9，所以log a 5.1 log a 5.9 ；当0 a 1时, 因为y=log a x是减函数，且5.1 log a 5.9 ；（2） 追问1：你能总结出利用对数函数的单调性比较大小的方法吗？归纳总结：1、同底数时,直接利用对数函数的单调性比较大小.2、同真数时,利用对数函数的图象或用换底公式转化.3、底数和真数都不同时,找中间值.4、若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.设计意图：理解对数函数的单调性的基础上
7、，会进行自变量与函数值不等关系的相互转换。问题5：对数函数在生活中应用广泛，你能利用对数函数解决生活的问题吗？师生活动：完成下面的题目。例2 溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH计量的，pH的计算公式为: 其中 表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;(2)已知纯争水中氢离子的浓度为 摩尔/升，计算纯净水的pH值.设计意图：进-步熟悉对数函数的性质，并促使学生形成用函数观点解决问题的意识.体会数学的应用价值。问题6：根据指数与对数间的关系，你能探究指数函数与对数函数的关系吗？师生活动：（1）以y=2
8、x （xR ，y （0，+）和y=log2x（ x（0，+）为例探究。已知函数 y=2x （xR ，y （0，+）可得到x=log2y ，对于任意一个y（0，+），通过式子x=log2y ，x在R中都有唯一确定的值和它对应。也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这是我们就说x=log2y（y（0，+）是函数 y=2x （ xR） 的反函数。 但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数。为此我们常常对调函数x=log2y 中的字母x，y，把它写成y=log2x ,这样，对数函数y=log2x （ x（0，+） ）是指数函数y=2x （xR ）的反函数。 （2）追问1：y = logax
9、 (a0,且a1)与指数函数y = ax的定义域和值域有什么关系？函数 y = logax (a0,且a1)与指数函数y = ax互为反函数。它们的定义域和值域恰好相反。（3） 追问2：你能总结对数函数与指数函数的区别联系吗？设计意图：进-步熟悉对数函数与指数函数的关系。问题7：回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：1、对数函数的图象是怎样的？2 、对数函数有哪些性质？3 、如何利用对数函数的性质比较两个值的大小？4、互为反函数的函数有何特点？师生活动：老师提问同学作答。设计意图：通过回顾本节课内容，形成知识体系，进行知识内化。五、目标检测设计课堂检测1. 2022福建连城一中高一周测函数y
10、=logax4+2 （a0 ，且a1 ）的图象恒过定点( C )A. 4,2 B. 2,4 C. 5,2 D. 2,5 解析当x4=1 ，即x=5 时，y=2 ，所以定点的坐标为5,2 .2. 2021浙江杭州高一期末设a=log43 ，b=log0.43 ，c=30.4 ，则实数a ，b ，c 的大小关系是( C )A. abc B. acb C. cab D. cba 解析0log431 ，log0.431 ，所以cab .3. 如图是三个对数函数的大致图象，则a ,b ,c 的大小关系是( D )A. abc B. cba C. cab D. acb 解析由题图可知a1 ,0b1 ,0c
11、b .acb ,故选D.4. 若函数fx=logax （a0 ,且a1 ）的反函数的图象过点1,3 ，则flog28= ( B )A. 1 B. 1 C. 2 D. 3 解析依题意，函数fx=logax （a0 ,且a1 ）的反函数是y=ax ，即函数y=ax 的图象过点1,3 ，则a=3 ，fx=log3x ，于是flog28=log3log28=log33=1 ，所以flog28=1 .故选B.5. 已知实数a ，b 满足log12a=log13b ，则给出下面五种关系:0ab1 ；0ba1 ；1ba ；1a0 ，即log12a=log13b0 ，则0ba1 ；若y1=y20 ，即log12a=log13b0 ，则1ab ；若y1=y2=0 ，即log12a=log13b=0 ，则a=b=1 .故成立.课后作业教科书第135页练习2,3设计意图：巩固本节课的主要知识、方法。
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