1、大名县第一高级中学校2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题一、 单选（每题5分，共40分）1已知，则等于（）A（0，34，10）B（-3，19，7）C44D232如图，在四面体OABC中，点M在OA上，且，点N为BC的中点，则（）A BC D3在直角坐标平面内，与点距离为2，且与点距离为3的直线共有（）A1条B2条C3条D4条4已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（）ABCD5已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（）ABCD6经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（ ）. 7“”是“直线与直线相互垂直”的（）A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条
2、件 D既不充分也不必要条件8已知点，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（） 二、多选题（每小题5分，共20分。全部选对5分，部分选对2分，有选错的0分）9下列命题是真命题的有（）.A直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直B直线的方向向量为，平面的法向量为，则C平面，的法向量分别为，则D平面经过三点，向量是平面的法向量，则10如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论中正确的是（）AB的最小值为C平面D异面直线与，所成角的取值范围是11已知直线和圆，则（）A直线l恒过定点 B存在k使得直线l与直线垂直C直线l与圆O相交 D若，直线l被圆O截得的弦长为412如图，在菱形ABCD中
3、，AB2，BAD60，将ABD沿对角线BD翻折到PBD位置，连接PC，构成三棱锥 设二面角为，直线和直线所成角为，在翻折过程中，下列说法正确的是（）APC与平面BCD所成的最大角为45 B存在某个位置，使得PBCDC当时，的最大值为 D存在某个位置，使得B到平面PDC的距离为三、填空题（每题5分，共20分）13已知，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是_.14在四面体中，棱，两两垂直，且，为的重心，则_15已知两圆O：，C：，当两圆相交时，实数a的取值范围是_.16已知点为棱长等于的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时，与夹角大小为_四、解答题（17题10分，其他各题12分，共70分）17已知
4、直线过点(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；(2)若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程18已知实数满足，求：(1)的最小值；(2)的最大值19在如图所示的几何体中，面，面，为的中点(1)证明：；(2)求直线和平面所成角的正弦值20已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；(2)设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；(3)若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值21如图，在四棱椎中，已知四边形是梯形，是正三角形(1)求证：；(2)当四棱锥体积最大时，求：点A到平面的距离；平面与平面夹角的余弦值22已知直线与圆交于两点（1）求出直线恒过
5、定点的坐标（2）求直线的斜率的取值范围（3）若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由参考答案一、单选题1C 2B 3C 4A 5A 6D7B 解析：因为直线与直线相互垂直，所以，所以.所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件；当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件.所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件.8A 解析：设直线过定点，则直线可写成，令解得直线必过定点，直线与线段相交，由图象知，或，解得或，则实数的取值范围是故选：A二、多选题9AD10ABC 解析：如图建立空
6、间直角坐标系，则，所以，所以，所以，故A正确；因为是线段上一动点，所以，所以，所以，当且仅当时，故B正确；设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，因为，即，因为平面，所以平面，故C正确；设直线与所成的角为，因为，当在线段的端点处时，在线段的中点时，所以，故D错误；11BC 解析：对于A、C，由，得，令，解得，所以直线恒过定点，故A错误；因为直线恒过定点，而，即在圆内所以直线l与圆O相交，故C正确；对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确；对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.12BC 解析：取BD的中点O，连接，则，又，可得平面，平面，
7、所以平面平面，PC与平面BCD所成的角为PCO，当PC时，OPC为等边三角形，此时PCO6045，故A错误；由上可知为的平面角，即，因为，所以，当时，即，故B正确；又，当时，所以，即的最大值为，故C正确；点B到PD的距离为，点B到CD的距离为，若B到平面PDC的距离为，则平面PBD平面PCD平面CBD平面PCD，则有DB平面PCD，即DBCD，与BCD是等边三角形矛盾，故D错误三、填空题1314 解析：如图所示，连接并延长与相交于点点是底面的重心，又，则15 解析：由，则，即圆的圆心，半径，同理圆的圆心，半径，则，由两圆相交，则，即，解得.16 解析：由题意得，取中点，则 ，因为，所以在以为球
8、心的球面上，所以，因为，所以，所以与的夹角为.四、解答题17(1) (2)或（1）解：因为直线与直线垂直所以，设直线的方程为，因为直线过点，所以，解得，所以直线的方程为（2）解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，即当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，所以直线的方程是综上，所求直线的方程为或18(1) (2)（1）由题意，圆的标准方程为令，当直线与圆相切时，取得最值，则，解得或所以的最小值为（2）令，则表示点到点距离的平方，因为圆上的点到原点距离最大值为，所以19（1）由面，面，则，又，则，故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，则依题意，则，即（2）由（1）知
9、：，设面的法向量为，则，取，设直线和平面所成角为，则因此直线和平面所成角的正弦值为.20(1). (2). (3).(1)解：设点P的坐标为，点A的坐标为，由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以，于是有，因为点A在圆上运动，即：，把代入，得，整理，得，所以点P的轨迹的方程为.(2)解：将圆与圆的方程相减得：，由圆的圆心为，半径为1，且到直线的距离，则；(3)解：圆是以为圆心，半径的圆，圆是以为圆心，半径的圆，所以，当且仅当A在线段且C在线段上时，取等号设为关于x轴的对称点，则，代入式得：，当且仅当共线时，取等号所以的最小值为21（1）如图，取AB的中点E，连接CE，AC，CD与AE平行
10、且相等，四边形AECD是平行四边形，又，四边形AECD是矩形，是等边三角形取BC的中点O，连接AO，则连接PO，平面PAO，平面PAO，PA平面PAO，；（2）由(1)知，是等边三角形，梯形ABCD的面积为定值，故当平面平面ABCD时，四棱锥体积最大，平面ABCD，OABC，BCPO=O，BC、PO平面PBC，平面PBC，故此时点A到平面PBC的距离等于；OP，OA，OB两两互相垂直，以O为坐标原点，OA，OB，OP分别为x轴、y轴和z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则由，可得，设平面PAD的一个法向量为，由得，可取，则设平面PAB的法向量为，则，即，取，则，则设平面PAB与平面PAD的夹角为，则故所求的平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值为22（1）；（2）；（3）为定值.解：（1）将直线方程整理为：，令，解得：，直线恒过定点；（2）设直线斜率为，由（1）可知：直线方程可设为：，即；圆方程可整理为，则其圆心，半径，直线与圆交于两点，圆心到直线距离，即，解得：，即直线斜率的取值范围为；（3）设，当时，与圆仅有一个交点，不合题意，则直线，可设直线方程为，由得：，由（2）知：；，为定值.