1、学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为，则球的体积为()A.B.C.8D.【解析】设球的半径为R，截面的半径为r.r2，r1，R，VR3()3.【答案】D2.64个半径都为的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个半径为a的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则()A.V甲V乙且S甲S乙B.V甲V乙且S甲S乙D.V甲V乙且S甲S乙【解析】64个半径都为的球，它们的体积之和为V甲64a3，表面积之和为S甲64416a2；一个半径为a的球，其体积为V乙a3，表面积为S乙4a2，所以V甲V乙且S甲S乙，故选C.【答案】C3.一根细
2、金属丝下端挂着一个半径为1 cm的金属球，将它浸没在底面半径为2 cm的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了()A. cmB. cmC. cmD. cm【解析】设容器内的水面下降了h cm，则球的体积等于水下降的体积，即1322h，解得h.【答案】D4.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那么该三棱柱的体积是() 【导学号：39292057】A.96B.16C.24D.48【解析】用平行于棱柱底面的平面去截棱柱和球，截面如图所示：设球的半径为R，则R3，所以R2.所以正三棱柱底面边长a4，其高h2R4，V(4)2448
3、.【答案】D5.若与球相切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为() 【导学号：39292058】A.4(rR)2B.4r2R2C.4rRD.(Rr)2【解析】法一：如图，设球的半径为r1，则在RtCDE中，DE2r1，CERr，DCRr.由勾股定理得4r(Rr)2(Rr)2，解得r1.故球的表面积为S球4r4Rr.法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在RtAOB中，OF是斜边AB上的高.由相似三角形的性质得OF2BFAFRr，即rRr，故r1，故球的表面积为S球4Rr.【答案】C二、填空题6.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该
4、球的表面积为_.【解析】如图所示，设球半径为R，底面中心为O且球心为O，正四棱锥PABCD中AB2，AO.PO4，在RtAOO中，AO2AO2OO2，R2()2(4R)2，解得R，该球的表面积为4R24.【答案】7.如图1732是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为_.图1732【解析】根据三视图可知，该几何体是一个半球与一个圆锥组合而成，所以其表面积为SS半球S侧4121(2).【答案】(2)8.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图1733所示)，则球的半径是_cm.图1733【解析】设球的半径为r，放入3
5、个球后，圆柱液面高度变为6r.则有r26r8r23r3，即2r8，r4.【答案】4三、解答题9.设正方体的表面积为24，求其内切球的体积及外接球的体积. 【导学号：39292059】【解】设正方体的棱长为a，则6a224，a2，正方体内切球的直径等于其棱长，2r2，r1，故内切球的体积V内r3.外接球的直径等于正方体的对角线长，2Ra，R，故外接球的体积V外R3()34.10.如图1734，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积.(其中BAC30)图1734【解】过C作CO1AB于O1，在半圆中可得BCA90，BAC30，AB2R，ACR，BC
6、R，CO1R.AO1ACsin 60R，BO1ABAO1，V球R3.V圆锥AO1RR3，V圆锥BO1RR3，V几何体V球V圆锥AO1V圆锥BO1R3R3R3R3.能力提升1.如图1735，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()图1735A. cm3B. cm3C. cm3D. cm3【解析】如图，作出球的一个截面，则MC862(cm)，BMAB84(cm).设球的半径为R cm，则R2OM2MB2(R2)242，R5，V球53(cm3).【答案】A2.已知A，B是球O的
7、球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点，若三棱锥O ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A.36B.64C.144D.256【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VOABCVCAOBR2RR336，故R6，则球O的表面积为S4R2144，故选C.【答案】C3.一个四面体的所有棱长都为，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为_.【解析】如图，把四面体ABCD补成正方体，则正方体的棱长为1，正方体的体对角线长等于外接球的直径，球的直径2R，球的表面积S4R23.【答案】34.已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为a，求它的外接球的体积.【解】如图，作PE垂直底面ABCD于E，则E在AC上.设外接球的半径为R，球心为O，连接OA，OC，则OAOCOP，O为PAC的外心，即PAC的外接圆半径就是球的半径.ABBCa，ACa.PAPCACa，PAC为正三角形，Ra，V球R3a3.