1、1数系的扩充与复数的引入 数的概念的扩展已知方程(1)x22x20，(2)x210.问题1：方程(1)在有理数数集中有解吗？实数范围内呢？提示：在有理数集中无解；在实数范围内有解，其解为.问题2：方程(2)在实数集中有解吗？提示：没有问题3：若有一个新数i满足i21，试想方程x210有解吗？提示：有解xi，但不是实数1复数的概念2复数集复数的全体组成的集合，记作C.显然RC.复数的相等问题1：若a，b，c，dR且ac，bd，复数abi和cdi相等吗？提示：相等问题2：若abicdi，那么实数a，b，c，d有何关系？提示：ac，bd.复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么abicdia
2、c且bd.复平面及复数的几何意义问题1：实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面内的点表示吗？提示：可以问题2：复数zabi(a，bR)与有序实数对(a，b)有何对应关系？与平面直角坐标系中的点Z(a，b)有何对应关系？提示：一一对应，一一对应问题3：在平面直角坐标系中点Z(a，b)与向量(a，b)有何对应关系？提示：一一对应关系问题4：复数zabi(a，bR)与有何对应关系？提示：一一对应1复平面(1)当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴(2)任一个复数zabi(a，bR)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的这是复数的几何意义一个复数zabi
3、(a，bR)与复平面内的向量(a，b)是一一对应的2复数的模设复数zabi(a，bR)在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，显然，|z|.1注意复数的代数形式zabi中a，bR这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部2表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3只有两个复数都是实数时才能比较大小，否则没有大小关系 复数的基本概念例1复数z(m23m2)(m2m2)i，当实数m为何值时，(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数？思路点
4、拨分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断精解详析(1)当m2m20，即m2或m1时，z为实数(2)当m2m20，即m2且m1时，z为虚数(3)当即m2时，z为纯虚数一点通(1)研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件，初学者易忽略这一点(2)对于纯虚数的问题，除了实部为零之外，勿忘其虚部必须不为零1设a，bR.“a0”是“复数abi是纯虚数”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：当a0，且b0时，abi不是纯虚数；若abi是纯虚数，则a0.故“a0”是“复数abi是纯虚数”
5、的必要而不充分条件答案：B2若复数z(x21)i为纯虚数，则实数x的值为()A1B0C1 D.1或1解析：由复数z(x21)i为纯虚数得解得x1.答案：A复数的相等例2(1)已知(2x1)iy(3y)i，x，yR，求x与y；(2)设z11sin icos ，z2(cos 2)i.若z1z2，求.思路点拨先找出两个复数的实部和虚部，然后再利用两个复数相等的充要条件列方程组求解精解详析(1)根据复数相等的充要条件，得方程组得(2)由已知，得解得则2k(kZ)一点通(1)两个复数相等时，应分清楚两复数的实部和虚部，然后让其实部和虚部分别相等，列出相应的方程组求解本题就是利用复数相等实现了复数问题向实
6、数问题的转化，体现了化归的思想(2)注意(1)小题的条件x，yR，若x，y未说明是实数，则不能这样解，比如若x为纯虚数，则可设xbi(bR且b0)，然后再根据复数相等求相应的x，y.3若ai2bi(a，bR)，i为虚数单位，则a2b2()A0 B2C. D.5解析：由题意得则a2b25.答案：D4若关于x的方程x2(12i)x3mi0有实根，则实数m()A. B.iC D.i解析：因为关于x的方程x2(12i)x3mi0有实根，即x2(12i)x3mi0x2x3m(2x1)i0m，故选A.答案：A复数的几何意义例3实数a取什么值时，复平面内表示复数za2a2(a23a2)i的点(1)位于第二象
7、限；(2)位于直线yx上？思路点拨位于第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0；位于直线yx上的点的横坐标等于纵坐标精解详析根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数za2a2(a23a2)i的点就是点Z(a2a2，a23a2)(1)由点Z位于第二象限得解得2a1.故满足条件的实数a的取值范围为(2,1)(2)由点Z位于直线yx上得a2a2a23a2，解得a1.故满足条件的实数a的值为1.一点通按照复数集和复平面内所有的点的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置确定复数的实部、虚部满足的条件5若复数z(a22a)(a
8、2a2)i对应的点在虚轴上，则()Aa2或a1 Ba2且a1Ca0 D.a2或a0解析：因为复数z(a22a)(a2a2)i对应的点在虚轴上，所以a22a0，解得a0或a2.答案：D6已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为23i，32i，那么向量的坐标是()A(5,5) B(5，5)C(5,5) D.(5，5)解析：向量，对应的复数分别记作z123i，z232i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量(2，3)，(3,2)由向量减法的坐标运算可得向量(23，32)(5，5)答案：B7在复平面内，求复数z，使复数z(m2m2)(m23m2)i(mR)的对应点(1)在虚轴上；(2)
9、在实轴负半轴上解：(1)若复数z对应点在虚轴上，则m2m20，m1或m2，此时，z6i或z0.(2)若复数z对应点在实轴负半轴上，则解得m1，z2.复 数 的 模例4设zC，判断满足下列条件的复数z对应的点Z的集合是什么图形(1)|z|2；(2)|z|3.精解详析法一：(1)复数z的模等于2，这表明向量的长度等于2，即点Z到原点的距离等于2，因此满足条件|z|2的点Z的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆(2)满足条件|z|3的点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的圆及其内部法二：设zxyi(x，yR)(1)|z|2，x2y24，点Z的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆(2)|z|3，x2
10、y29.点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的圆及其内部一点通(1)解决此类问题有两种方法：根据|z|表示点Z和原点间的距离，把复数条件转化为几何条件；设出复数，利用模的定义，把复数方程(不等式)转化为实数方程(不等式)(2)设出复数，把复数问题实数化，是解决复数问题的基本思想8设复数z1a2i，z22i，且|z1|z2|，则实数a的取值范围是()Aa1 B1a1 D.a0解析：|z1| ，|z2|， ，即a245，a21，即1a，|z1|z2|.1区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别对于纯虚数bi(b0，bR)不要只记形式，要注意b0.2复数
11、与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数zabi(a，bR)、复平面内的点Z(a，b)和平面向量之间的关系可用图表示 1复数1i2的实部和虚部分别是()A1和i Bi和1C1和1 D.0和0解析：1i2110，故选D.答案：D2当m1时，复数z(3m2)(m1)i在复平面上对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D.第四象限解析：m0，m10，则实数m的值为_解析：由于两个不全为实数的复数不能比较大小，可知(m21)(m22m)i应为实数，得解得m2.答案：27已知复数z(m23m)(m2m6)i，当实数m为何值时，z是实数；z46i；z对应的点在第三象限？解：z(m23m)(m2m6)i.令m2m60m3或m2，即m3或m2时，z为实数m4.即m4时z46i.若z所对应的点在第三象限，则0m3.即0m3时z对应的点在第三象限8在复平面内画出复数z1i，z21，z3i对应的向量，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为，(1,0)，则向量，如图所示|z1| 1，|z2|1|1，|z3| 1.在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上