1、第1课时数 乘 向 量核心必知1数乘向量(1)定义：一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a.它的长度和方向分别为：长度：|a|a|；方向：当0时，a与a的方向相同； 当0)或反方向(1)或压缩(|0，2a与a的方向相同，且|2a|2|a|；(2)正确，20，2a与5a的方向相反，又，|2a|5a|；(3)正确，因为|a|a|a|，且a与a反向，a与a同向；(4)错误，(ba)baab，ab与(ba)是相等向量，而不是相反向量理解数乘向量要抓住两点：一是大小，二是方向设，R，a0若0，则a与a的方向相同；若0，则a，a至少有一个为0；当0时，.练一练1如图，已知向量a，b，c，求作向量3a2
2、bc.解：法一：在平面内任取一点A，作3a，2b，c，连接AD，则3a2bc即为所求(如图所示)法二：在平面内任取一点A，作3a，2b，连接BC，则3a2b，再作c，连接CD，则3a2bc即为所求(如图所示)法三：在平面内任取一点A，作3a，2b，以AB，AC为邻边作ABDC，连接AD，则3a2b，再作c，连接AE(如图)则3a2bc即为所求讲一讲2(1)的运算结果是()A2abB2baCba Dab(2)若abc，则3(a2b)2(3bc)2(ab)_(用b，c)表示尝试解答(1)(a4b4a2b)(3a6b)a2b2ba.故选B(2)abc3(a2b)2(3bc)2(ab)3a6b6b2c
3、2a2ba2b2cbc2b2c3bc.答案(1)B(2)3bc1向量的线性运算是指向量的加法、减法和数乘向量的运算其运算法则在形式上类同实数加、减法与乘法满足的运算法则，但它们的具体含义是不同的，不过由于它们在形式上类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中都可以使用2若需要结合几何图形进行向量的线性运算，则要注意使用三角形法则或平行四边形法则，并正确利用数乘向量的几何意义，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解练一练2. 如图，OADB中，向量b，试用a，b表示.讲一讲3设e1，e2是两个不共线向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.(1)
4、求证：A、B、D三点共线；(2)若3e1ke2，且B、D、F三点共线，求k的值 尝试解答 (1)由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2，2e18e2，又有公共点B.A、B、D三点共线(2)由(1)可知3e1ke2，且B、D、F三点共线，得，即3e1ke2e14e2得解得k12.1向量共线的判定定理的主要作用是判断两个向量是否共线，进而可解决诸点是否共线问题2利用向量证明三点共线时，一般是把“共线”问题转化为“向量关系ab”，通过向量关系得到“三点共线”的结论3利用向量共线的性质定理，并结合向量的线性运算，可由向量共线(或三点共线)求相关的参数的值练一练3 3如图，在ABC中，D为BC的
5、中点，M为AD的中点，判断B、M、N三点是否共线解：D为BC的中点，B、M、N三点共线如图所示，在ABO中，AD与BC相交于点M，设b.试用a和b表示向量. 巧思既然能用a、b表示，那么不妨设manb，利用向量共线定理建立方程，用方程的思想方法求解即(m1)anbt(ab)，(m1)anbtatb.消去t得，m12n，即m2n1.anbt1(ab)，消去t1得，4mn1.由得m，n，OMab.1设a是非零向量，是非零实数，下列结论正确的是()Aa与a的方向相反B|a|a|Ca与2a的方向相同 D|a|a解析：选C对于A，的正反未定，a与a的方向可能相同，也可能相反，A不正确；对于B，|a|a|
6、，的值未定，有可能|a|a|，如时，|a|0，a与2a的方向相同，C正确；对于D，|a|a|是一个实数，而|a是一个向量，二者不能相等，D不正确2已知向量a，b，且7a2b，则一定共线的三点是()AA、B、D BA、B、CCB、C、D DA、C、D又有公共点BD，AB有公共点B，A、B、D三点共线3. 如图，向量的终点在同一直线上，且p，r，则下列等式中成立的是()Arpq Brp2qCrpq Drq2p4若向量a3i4j，b5i4j，则(ab)3(ab)(2ba)_解析：(ab)3(ab)(2ba)(31)a(122)bab(3i4j)(5i4j)(115)i(4)j16ij.答案： 16i
7、j5在ABC中，D在线段BC上，n，则_.m，n，故.答案： 6已知向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1，e2不共线，向量c2e19e2，问是否存在非零实数，使dab与c共线？解：dab(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2，要使d与c共线，则应存在实数k，使dkc，即(22)e1(33)e22ke19ke2，2.故存在非零实数，只要2就能使d与c共线一、选择题1已知向量a，b不共线，ckab(kR)，dab.如果cd，那么()Ak1且c与d同向Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向Dk1且c与d反向解析：选Dcd，cd，即kab(ab)ab.又a，b不共线，cd，c与
8、d反向2已知O、A、M、B为平面上四点，且(1)，(1,2)，则()A点M在线段AB上B点B在线段AM上C点A在线段BM上 DO、A、M、B四点共线(1，2)，点M在线段AB的延长线上，即点B在线段AM上3已知A、B、C三点共线，O是这条直线外的一点，满足，则的值为()AB C. D.4. 四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，则()二、填空题5点C在线段AB上，且，则_.解析：，点C为线段AB的5等分点，答案：6若2(cb3x)b0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量x_解析：由已知可得xabc0，xabc.答案：abc7已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得成立，则m_.答案：38D、E、F分别为ABC的边BC、CA、AB上的中点，且a，b，给出下列命题：其中所有正确命题的序号为_解析：D、E、F分别是BC、CA、AB的中点(ab)(ab)(ab)0.故正确答案：三、解答题9设两个非零向量e1，e2不共线，已知e13e2，2e1e2，若A、B、D三点共线，试求k的值解：2e1e2(e13e2)e14e2若A、B、D三点共线，则，从而存在唯一实数，使，即2e1ke2(e14e2)整理得(2)e1(k4)e2e1、e2不共线即k的值为8时，A、B、D三点共线10ABC中，DEBC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N.设b，试用a、b表示向量.
