1、高考资源网（） 您身边的高考专家2021年四川省成都市高新区高三高考数学第四次质检试卷（理科）（3月份）一、选择题（每小题5分）.1已知集合Ax|ln（x2）0，Bx|2x29x50，则AB（）A（2，5）B2，5）C3，5）D（3，5）2设复数z满足（1+i）z4i，则|z|（）AB2C2D3已知等比数列an的前n项和为Sn，若a3，S3，则an的公比为（）A或B或C3或2D3或24为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如
2、图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（）A是否倾向选择生育二胎与户籍有关B是否倾向选择生育二胎与性别无关C倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数5若向量，满足|2，|1，（+2）6，则cos，（）ABCD6已知焦点为F的抛物线y22px（p0）上有一点A（m，2），以A为圆心，|AF|为半径的圆被y轴截得的弦长为2，则m（）ABC2D47已知平面，直线l，m，且有l，m，给出下列命题：若，则lm；若lm，则；若，则lm；若lm，则其中正确命题有（）ABCD8已知alog52，blog72，
3、c0.5a2，则a，b，c的大小关系为（）AbacBabcCcbaDcab9将偶函数f（x）cos2x的图象向右平移个单位，得到yg（x）的图象，则g（x）的一个单调递增区间为（）ABCD10已知函数f（x）ax2x+a，“函数f（x）在（0，2）上有两个不相等的零点”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件11已知双曲线C：（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，且以F1F2为直径的圆与双曲线C的右支交于Q，直线F1Q与C的左支交于P，若，则双曲线C的离心率为（）ABCD12已知lnx1x1y1+20，x2+2y242ln20，记M（x1x2）2+
4、（y1y2）2，则（）AM的最小值为BM的最小值为CM的最小值为DM的最小值为二、填空题（共4小题）.13若实数x，y满足不等式组则目标函数z3xy的最大值为 14的展开式中各项系数之和为81，则展开式中x的系数为 15已知圆台内有一个球，该球与此圆台的上下两个底面及母线都相切，若圆台的上，下两个底面的半径分别为1，4，那么这个球的体积为 16已知数列an的前n项和为Sn，数列bn的前n项和为Tn，满足a12，3Sn（n+m）an，mR，且anbnn则a2 ；若存在nN*，使得+TnT2n成立，则实数的最小值为 三、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1
5、7已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）sinAcsinC+（2ab）sinB（1）求角C的大小；（2）若c2，求ABC面积的最大值182020年是让人难忘的一年，为了战胜疫情，全国人民万众一心，同舟共济，众志成城隔离期间，李校长倡导学生停课不停学，建议学生在家进行网课学习，为了解全校高中学生在家上网课的时长，李校长随机从高高二两个年级中各选择了10名同学，统计了学生在家一周上网课的时长，统计结果如图（单位：小时）：其中，高一年级中有一个数据模糊（1）若高一年级的平均时长小于高二年级的平均时长，设aZ，求图中a的所有可能值；（2）将两个年级中学习时长超过25小时的学生
6、称为“学习达人”设a1，现从所有“学习达人”中任选3人，求高一年级的人数X的分布列和数学期望；（3）记高二年级学习时间的方差为S12，若在高二年级中增加一名学生A得到一组新的数据，若该名学生的学习时长为20，记新数据的方差为S22，比较S12与S22的大小（直接写结论）19如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点E，F分别在棱AA1，CC1上，且满足，平面BEF与平面ABC的交线为l（1）证明：直线l平面BDD1；（2）已知EF2，BD14，设BF与平面BDD1所成的角为，求sin的取值范围20已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，四
7、边形A1B1A2B2的面积为，坐标原点O到直线A1B1的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C相交于A，B两点，点P为椭圆C上异于A，B的一点，四边形OAPB为平行四边形，探究：平行四边形OAPB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由21已知函数f（x）aex1x1（1）当aR时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当a0时，若g（x）lnxxlna，且f（x）g（x）在x0时恒成立，求实数a的取值范围请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做题的第一题记分.作答时请将答题纸上所选题目对应题号后的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系x
8、Oy中，已知曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos（1）求曲线C1与曲线C2两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l1过点P（1，2）且与直线l：平行，直线l1与曲线C1相交于A，B两点，求的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x2|+|x+2|（1）求不等式f（x）2x+4的解集；（2）若f（x）的最小值为k，且实数a，b，c，满足a（b+c）k，求证：2a2+b2+c28参考答案一、选择题（共12小题）.1已知集合Ax|ln（x2）0，Bx|2x29x50，则AB（）A（2，5）B2，5）C3，5）D（3
9、，5）解：由ln（x2）0，得x21，即x3，Ax|x3，由2x29x50，解得x5，ABx|x3x|x5x|3x53，5）故选：C2设复数z满足（1+i）z4i，则|z|（）AB2C2D解：由（1+i）z4i，得z2+2i，则|z|2 故选：D3已知等比数列an的前n项和为Sn，若a3，S3，则an的公比为（）A或B或C3或2D3或2解：设等比数列an的公比为q，则a3a1q2，S3a1（1+q+q2），两式相除可得，即6q2q10，解得q或q，故选：A4为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各50人；男性60人，女性
10、40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（）A是否倾向选择生育二胎与户籍有关B是否倾向选择生育二胎与性别无关C倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数解：由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，知：在A中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为40%，农村户籍倾向选择生育二胎的比例为80%，是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A正确；在B中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，女性倾向选择生育二胎的比例为60
11、%，是否倾向选择生育二胎与性别无关，故B正确；在C中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为6060%36人，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为4060%24人，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数比女性人数多，故C错误；在D中，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数为50（180%）10人，城镇户籍人数为50（140%）30人，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D正确故选：C5若向量，满足|2，|1，（+2）6，则cos，（）ABCD解：向量，满足|2，|1，（+2）6，可得6，所以1，则cos，故选：B6已知焦点为F的抛物线y22px（p0）上有一点A
12、（m，2），以A为圆心，|AF|为半径的圆被y轴截得的弦长为2，则m（）ABC2D4解：A（m，2）在抛物线y22px上，2pm8，p抛物线的焦点F（，0），即F（，0）由抛物线的定义可知|AF|m+m+即圆A的半径rm+A到y轴的距离dm，r2d2（）2，即（m+）2m25，解得m2故选：C7已知平面，直线l，m，且有l，m，给出下列命题：若，则lm；若lm，则；若，则lm；若lm，则其中正确命题有（）ABCD解：对于，若，又l，可得l，又m，则lm，故正确；对于，若lm，又l，可得m，又m，则，故正确；对于，若，由l，可得lm，或l，m异面，l，m相交，故错误；对于，若lm，又l，m，可得
13、，或、相交，故错误故选：B8已知alog52，blog72，c0.5a2，则a，b，c的大小关系为（）AbacBabcCcbaDcab解：1log25log27，1log52log72，又0.5a20.512，则cab，故选：A9将偶函数f（x）cos2x的图象向右平移个单位，得到yg（x）的图象，则g（x）的一个单调递增区间为（）ABCD解：将偶函数f（x）cos2x的图象向右平移个单位，得到yg（x）cos2（x）cos（2x）的图象，令2k2x2k，kZ，解得kxk+，kZ，当k0时，可得g（x）的一个单调递增区间为（，）故选：A10已知函数f（x）ax2x+a，“函数f（x）在（0，2
14、）上有两个不相等的零点”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：当a0时，f（x）x在（0，2）上无零点，当a0时，则，a，当a0时，则，无解，综上所述：a，（，）（，），f（x）在（0，2）上有两个不同的零点是a充分不必要条件故选：A11已知双曲线C：（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，且以F1F2为直径的圆与双曲线C的右支交于Q，直线F1Q与C的左支交于P，若，则双曲线C的离心率为（）ABCD解：如图，连接PF2，QF2，因为以F1F2为直径的圆与双曲线C的右支交于Q，故F1QF2Q设|PF1|m，则|PQ|2m，|QF1|3m，|QF2
15、|3m2a，|PF2|m+2a，由PQF2为直角三角形，可得（m+2a）2（2m）2+（3m2a）2，解得m，所以|QF1|4a，|QF2|2a，由F1QF2为直角三角形，可得16a2+4a24c2，e故选：D12已知lnx1x1y1+20，x2+2y242ln20，记M（x1x2）2+（y1y2）2，则（）AM的最小值为BM的最小值为CM的最小值为DM的最小值为解：设A（x1，y1），B（x2，y2），点A在函数ylnxx+2的图象上，点B在直线x+2y42ln20上，M（x1x2）2+（y1y2）2的最小值转化为函数ylnxx+2的图象上的点与直线x+2y42ln20上点距离最小值的平方由
16、ylnxx+2，得y，与直线x+2y42ln20平行的直线的斜率为k令，得x2，则切点坐标为（2，ln2），切点（2，ln2）到直线x+2y42ln20的距离d即M（x1x2）2+（y1y2）2的最小值为故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13若实数x，y满足不等式组则目标函数z3xy的最大值为12解：作出实数x，y满足不等式组可行域如图，由，解得A（4，0）目标函数y3xz，当y3xz过点（4，0）时，z有最大值，且最大值为12故答案为：1214的展开式中各项系数之和为81，则展开式中x的系数为24解：由的展开式中各项系数之和为81，令x1得：（2+1）n81，解得n4
17、，则（2x+）4展开式通项为Tr+1（2x）4r（）r24rx，令1，解得r2，即展开式中x的系数为2224，故答案为：2415已知圆台内有一个球，该球与此圆台的上下两个底面及母线都相切，若圆台的上，下两个底面的半径分别为1，4，那么这个球的体积为解：画出圆台的轴截面，如图所示：设内切圆的半径为R，由题意可知OEOGOF，且OEAB，OFCD，OGBC，故可得OEBOGB，OFCOGC，则BCBG+CGBE+FC1+45，过点B作BHFC，在RTBHC中，易知HCFCFHFCEB3，可得BH，又因为BHEF2R，所以R2，故球的体积为V，故答案为：16已知数列an的前n项和为Sn，数列bn的前
18、n项和为Tn，满足a12，3Sn（n+m）an，mR，且anbnn则a26；若存在nN*，使得+TnT2n成立，则实数的最小值为解：a12，3Sn（n+m）an，mR，当n1时，有3S1（1+m）a1，即62（m+1），解得：m2，3Sn（n+2）an，又3Sn+1（n+3）an+1，由整理得：，累乘可得ann（n+1）（n2），经检验a12符合上式，ann（n+1），a26；anbnn，bn，令BnT2nTn+，则Bn+1Bn0，数列Bn为递增数列，BnB1，存在nN*，使得+TnT2n成立，B1，故实数的最小值为故答案为：6；三、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明
19、过程或演算步骤.17已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）sinAcsinC+（2ab）sinB（1）求角C的大小；（2）若c2，求ABC面积的最大值解：（1）（a+b）sinAcsinC+（2ab）sinB，由正弦定理可得（a+b）ac2+（2ab）b，a2+b2c2ab，又C（0，），（2）由（1）知，a2+b2c2ab又c2，a2+b24+aba2+b22ab，ab4，当且仅当ab时等号成立，即ABC面积的最大值为182020年是让人难忘的一年，为了战胜疫情，全国人民万众一心，同舟共济，众志成城隔离期间，李校长倡导学生停课不停学，建议学生在家进行网课学习，为了解
20、全校高中学生在家上网课的时长，李校长随机从高高二两个年级中各选择了10名同学，统计了学生在家一周上网课的时长，统计结果如图（单位：小时）：其中，高一年级中有一个数据模糊（1）若高一年级的平均时长小于高二年级的平均时长，设aZ，求图中a的所有可能值；（2）将两个年级中学习时长超过25小时的学生称为“学习达人”设a1，现从所有“学习达人”中任选3人，求高一年级的人数X的分布列和数学期望；（3）记高二年级学习时间的方差为S12，若在高二年级中增加一名学生A得到一组新的数据，若该名学生的学习时长为20，记新数据的方差为S22，比较S12与S22的大小（直接写结论）解：（1）高一年级10名同学学习的时长
21、的平均值为，则；高二年级10名同学学习的时长的平均值为，则，因为高一年级的平均时长小于高二年级的平均时长，所以196+a200，解得a4，所以a0或a1或a2或a3；（2）因为a1，所以高一年级的“学习达人”有2人，高二年级的“学习达人”有3人，由题意可得，随机变量X的所有可能取值为：0，1，2，则，所以随机变量X的分布列为：所以（3）19如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点E，F分别在棱AA1，CC1上，且满足，平面BEF与平面ABC的交线为l（1）证明：直线l平面BDD1；（2）已知EF2，BD14，设BF与平面BDD1所成的角为，求sin的取值范围【解
22、答】（1）证明：如图示：连接AC与BD交于点O，由条件可知AECF，且AECF，ACEF，EF平面BEF，AC平面BEF，平面BEF平面ABCl，故ACl，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，且侧棱垂直于底面，故ACBD，ACBB1，又BDBB1B，故AC平面BDD1，l平面BDD1，（2）解：如图示：以O为坐标原点，分别以，的方向为x，y轴的正方向建立空间坐标系，设BD2a，BDBD1，0a2，则OBa，DD12，故B（a，0，0），C（0，1，0），F（0，1，），由（1）可知（0，1，0）是平面BDD1的一个法向量，而（a，1，），故sin|cos，|，当0a2时，即sin（，）
23、20已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，四边形A1B1A2B2的面积为，坐标原点O到直线A1B1的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C相交于A，B两点，点P为椭圆C上异于A，B的一点，四边形OAPB为平行四边形，探究：平行四边形OAPB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由解：（1）直线A1B1的方程为，由题意可得，解得，椭圆C的方程为（2）当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x1，此时S平行四边形OAPB3当直线AB的斜率存在时，设AB：ykx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，可得（4k2+3）x2+8kmx+4
24、m2120，则48（4k2m2+3）0，四边形OAPB为平行四边形，点P在椭圆上，整理得，原点O到直线AB的距离，3，综上，四边形OAPB的面积为定值321已知函数f（x）aex1x1（1）当aR时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当a0时，若g（x）lnxxlna，且f（x）g（x）在x0时恒成立，求实数a的取值范围解：（1）f（x）aex11，当a0时，f（x）0恒成立，即函数f（x）在（，+）递减；当a0时，令f（x）0，解得x1lna，令f（x）0，解得x1lna，即函数f（x）在（1lna，+）上单调递增，在（，1lna）上单调递减综上，当a0时，函数f（x）在（，+）递减；当a0时
25、，函数f（x）在（1lna，+）上单调递增，在（，1lna）上单调递减；（2）由题意，即当a0时f（x）g（x）0在x0时恒成立，即aex1lnx+lna10在x0时恒成立记h（x）aex1lnx+lna1，则h（1）a+lna10，记（a）a+lna1，在a（0，+）递增，又（1）0，所以h（1）a+lna10时，a1下面证明：当a1时，h（x）aex1lnx+lna10在x0时恒成立因为h（x）aex1lnx+lna1ex1lnx1所以只需证ex1lnx10在x0时恒成立记T（x）ex1lnx1，所以，又，所以T（x）在（0，+）单调递增，又T（1）0所以x（0，1），T（x）0，T（x）
26、单调递减；x（1，+），T（x）0，T（x）单调递增，所以Tmin（x）T（1）0，T（x）0在（0，+）恒成立综上可知，a1时，T（x）ex1lnx10在x0时恒成立请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做题的第一题记分.作答时请将答题纸上所选题目对应题号后的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos（1）求曲线C1与曲线C2两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l1过点P（1，2）且与直线l：平行，直线l1与曲线C1相交于A，B两点
27、，求的值解：（1）已知曲线C1的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y2）24；曲线C2的极坐标方程为4cos，根据，转换为直角坐标方程为x2+y24x所以两圆相减得：xy0，转换为极坐标方程为（R）（2）直线l：，根据转换为直角坐标方程为，转换为参数方程为（t为参数），代入x2+（y2）24，得到：，所以，t1t23，故选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x2|+|x+2|（1）求不等式f（x）2x+4的解集；（2）若f（x）的最小值为k，且实数a，b，c，满足a（b+c）k，求证：2a2+b2+c28解：（1）解：当x2时，不等式即为2x2x+4，解得x1，x2；当2x2时，不等式即为42x+4，x02x0；当x2时，不等式即为2x2x+4，x，综上，不等式f（x）2x+4的解集为（，0（2）证明：由绝对值不等式的性质可得：|x2|+|x+2|（x2）（x+2）|4，当2x2时，f（x）取最小值4，即k4，a（b+c）4，即ab+ac4，2a2+b2+c2（a2+b2）+（a2+c2）2ab+2ac8，当且仅当时等号成立- 21 - 版权所有高考资源网